Главная > Математика > Десять лекций по вейвлетам
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2.2. Вновь оконное преобразование Фурье: и все-таки «хорошие» ортонормированные базисы!

Одним из способов, с помощью которого можно было бы попытаться обобщить оконную конструкцию Фурье и обойти теорему 4.1.1, является рассмотрение семейств не порожденных точной частотно-временной решеткой. Это дает возможность маленького маневра: в [26] Бургейн сконструировал такой ортонормированный базис для , что

равномерно по , где (Заметим, что базисы вейвлетов не удовлетворяют такой равномерной

оценке. Отказ от решеточной структуры, таким образом, допускает лучшую локализацию, чем это разрешено теоремой Бальяна-Лоу. Однако Стегер (личное общение, 1986) доказал, что даже небольшое улучшение свойств локализации (4.2.9) невозможно: не допускает ортонормированного базиса удовлетворяющего неравенствам

равномерным по если . Поэтому данный подход не может привести к хорошей частотно-временной локализации. Существует другой способ, с помощью которого мы можем попробовать отойти от решеточной схемы (4.1.1). Заметим, что в (4.2.9), (4.2.10) «частотно-временная локализация» означает свойства сильного убывания по мере удаления от средних величин Это соответствует картинке, на которой и имеют существенно один пик. Вилсон ([186]) предложил вместо этого конструировать ортонормированные базисы типа

где имеет два пика, расположенных возле и — у,

где сосредоточены около 0. Это полностью меняет картину. В [186] Вилсон привел численные свидетельства существования такого ортонормированного базиса с равномерным экспоненциальным убыванием . В своей численной конструкции он далее «оптимизирует» локализацию, требуя

Салливан и другие [170] представляют рассуждения, объясняющие и существование базиса Вилсона, и его экспоненциальное убывание. В обеих

работах присутствует бесконечно много функций (ркоторые стремятся к предельной функции при стремлении то к

Мораль конструкции Вилсона в том, что такие ортонормированные базисы с хорошей фазовой и пространственной локализацией возможны, по-видимому, если используются бимодальные функции такие, как в (4.2.13).

Заметим, что многие из наших вейвлет-конструкций, как фреймы, так и ортонормированные базисы, встречавшиеся ранее, имеют эти два пика по частоте (один для другой для . В случае фреймов или непрерывного вейвлет-преобразования две области частот могут быть отделены (соответствуя функциям с одним пиком по частоте, см. § 3.3.5. А или (2.4.9)), но для ортонормированных базисов это не кажется справедливым. Позднее мы увидим, что два частотных пика не обязательно симметричны: существует даже пример, где — как угодно малая (но строго положительная) величина. Однако не существует примера достаточно хорошо локализованных функций имеющих и таких, что семейство то, или образует ортонормированный базис в соответствующий базису вейвлетов с только одним «пиком» по частоте. (Точно так же не существует примера достаточно гладкой функции такой, что то, являются ортонормированным базисом в Представляется (пока бездоказательно), что таких базисов не существует.

Вернемся все-таки к базисам Вилсона. Если отказаться от ограничения (4.2.13) (если имеют экспоненциальное убывание, то эти величины убывают экспоненциально быстро по то предпосылки Вилсона (4.2.11), (4.2.12) могут быть значительно упрощены.

В [64] Добеши, Джафар и Журне предложили конструкцию, в которой используется только одна функция Точнее, в этой конструкции определены

где

где или 1, случай исключен. Результатом появления этих фазовых множителей и смены знаков будет

Если перенумеровать в (4.2.14), определив по формулам

то

и для всех

Эта конструкция (как и другие, упомянутые ниже) показывает, что ключ к получению хорошей частотно-временной локализации может быть выбрана так, что имеют экспоненциальное убывание) и ортонормированности в рамках оконного подхода Фурье — это использование синусов и косинусов (взятых попеременно в надлежащем порядке) вместо комплексных экспонент.

Вернемся к (4.2.14), (4.2.15) и покажем, что эта конструкция может привести к ортонормированному базису. Как обычно, нам нужно лишь проверить, что Мы немедленно

имеем и для

(для простоты предполагаем, что — вещественная). Тогда для всех если

С другой стороны,

Это равняется если

После простых манипуляций приходим к равенству

Если то оно сводится к выражению

равному нулю, поскольку подстановка переводит (4.2.21) в то же значение с отрицательным знаком. Если то (4.2.19) сводится к

Тогда образуют ортонормированный базис, если вещественная функция, удовлетворяющая (4.2.18) и (4.2.22). Заметим, что, интегрируя (4.2.22) по от 0 до автоматически приходим к (4.2.18), так что в действительности нужно удовлетворить единственное условие (4.2.22). Как оказывается, это легко сделать: например, мы можем взять так что (4.2.22) удовлетворяется автоматически для к и нам нужно лишь проверить равенство . Это верно, если, например,

где из (4.2.4). Если из то убывают быстрее, чем любая отрицательная степень, но, как и для базиса Мейера, численное убывание может быть медленным. Более быстрое убывание для можно получить с помощью носитель которой не компактен. Для построения такой удовлетворяющей (4.2.22), мы снова можем использовать преобразование Зака, нормированное так, что

Нормированное таким образом вновь действует унитарно из . Нетрудно проверить, что (4.2.22) эквивалентно

(Все подробности приведены в работе Добеши, Джафара и Журне [64].) Это приводит к следующей технике конструирования .

• Выберем любое при условии, что

• Определим так:

Рис. 4.4. Функции соответствующие (4.2.25), где

Если и убывают экспоненциально, то, оказывается, также убывает экспоненциально. На рисунке 4.4 показан график когда — гауссиан. (Гауссианы на самом деле удовлетворяют (4.2.24).) Интересно, что (4.2.23) в точности эквивалентно требованию, чтобы функции или, что то же самое, , где образовывали жесткий фрейм (с избыточностью, необходимо равной 2) в Конструкция (4.2.25) может быть интерпретирована как переход от общего фрейма, порожденного к жесткому фрейму с применением (см. примечание 11 после главы 3 или работу Добеши, Джафара, Журне [64]). Такой базис Вилсона можно рассматривать как результат разумного «пропалывания» (жесткого) фрейма, в котором элементов «вдвое больше».

Возможны многочисленные вариации этой схемы Вилсона. Лаенг ([116]) сконструировал расширение предложенной ранее схемы, в котором

ром не нужна такая регулярность по частоте. Ошер ([8]) переформулировал всю конструкцию: начиная непосредственно с (4.2.16), (4.2.17), он вывел все результаты без использования преобразования Фурье и построил различные примеры. В частности, он получил примеры, в которых, если использовать (4.2.17), «окно» имеет компактный носитель, что очень полезно для приложений. Эти примеры тоже можно рассматривать как результат «прополки» жестких фреймов с избыточностью, равной 2, полученных выбором в § 3.4.4.А.

Другие оконные базисы Фурье, использующие косинусы и синусы вместо комплексных экспонент и приводящие к хорошей частотно-временной локализации, были обнаружены Малваром ([138]) и Койфманом и Мейером ([45]). В работе Малвара снова используются чередующиеся косинусы и синусы. Он описал приложения своей конструкции к кодированию речи. «Базис локализованных синусов» Койфмана и Мейера начинается с разбиения на интервалы

где . Затем они строят оконные функции локализованные около этих и слегка перекрывающиеся на соседних интервалах,

здесь предполагается, что удовлетворяют условию для всех Более того, требуется, чтобы дополняли друг друга около если (Все это достигается с помощью гладкой например, можно взять для где удовлетворяет (4.2.4) и (4.2.5).) Койфман и Мейер ([45]) доказали, что семейство где

образует ортонормированный базис в состоящий из функций с компактным носителем, быстро убывающих по частоте. Этот базис дополнительно имеет очень интересное свойство: если для любого мы определим ортогональный проектор на пространство, натянутое на («фактически» является проекцией на ), то в точности является оператором проектирования относящимся Мы могли бы получить это выбросив точку из нашей «нарезки» (т. е. если бы начали с последовательности для к для к ). Это свойство дает возможность разбивать и перегруппировывать интервалы по желанию в зависимости от имеющегося в виду приложения. Очень хорошее обсуждение этой конструкции, содержащее все детали, проведено Ошером, Вайсом и Викерхаузером в [10].

Таким образом, для ортонормированных оконных базисов Фурье имеется даже больше, чем это ожидалось лишь несколько лет назад. Однако ни один из этих базисов не является безусловным базисом для если Это один пункт, где базисы вейвлетов имеют преимущество: они оказались безусловными базисами для гораздо большего семейства пространств, чем даже эти «хорошие» оконные базисы Фурье. К этому мы вернемся в главе 9.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление