Главная > Математика > Десять лекций по вейвлетам
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3.3. Двойственный фрейм

Как мы видели в § 3.2, двойственный фрейм определяется так:

где . У нас есть явная формула для нахождения обратного к которая сходится с экспоненциальной скороестью, т. е. как с отношением сходимости а, пропорциональным — Таким образом, полезно иметь границы фрейма А и В, близкие друг другу. Тем не менее для (3.2.8) в принципе необходимо знать бесконечное число Ситуация не так плоха, как можно было ожидать: если ввести обозначение

то легко проверить, что для всех

Следовательно, перестановочны. В частности, тогда

или

К сожалению, и не перестановочны, так что нам по-прежнему необходимо вычислять бесконечно много Практический интерес представляют лишь функции, «живущие» на конечном числе шкал, где достаточно хорошо аппроксимируется комбинациями

(см. пункт о частотно-временной локализации, § 3.5). Если целое, то легко проверить, что такой усеченный перестановочен с Тогда остается вычислить лишь различных Однако во многих практических приложениях это число по-прежнему достаточно велико. Таким образом, становится особенно выгодно работать с почти жесткими фреймами, т. е. такими, для которых : мы можем ограничиться лишь членом нулевого порядка в формуле восстановления (3.2.11), избежать всех сложностей, связанных с двойственным фреймом и по-прежнему будем иметь высокое качество восстановления произвольной . С другой стороны, при специальном выборе можно получить фрейм не являющийся близким жесткому фрейму, для которого все порождаются одной единственной функцией

В главе 8 мы рассмотрим такой пример — некоторые биортогональные базисы. Другим примером является -преобразование из работы Фразиера и Яверта [82] (см. также работу Фразиера, Яверта и Вайса [83]).

Важно осознать, что могут иметь очень разные свойства регулярности. Например, существуют фреймы, для которых сама принадлежит и убывает быстрее, чем любой обратный полином, в то время как некоторые из не принадлежат для маленьких (что предполагает их очень медленное убывание). Пример Лемарье приведен Добеши во всех подробностях в [54], стр. 988-989.10 Нечто подобное может произойти, даже если все порождены одной функцией существуют примеры, в которых (к — произвольно большое), а не является непрерывной. (Примерами такого рода являются биортогональные базисы из главы 8, первый пример был построен Чамичаном в Такое несоответствие можно исключить, накладывая дополнительные условия на (см. Добеши [54], § II.D.2, стр. 991-992).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление