Главная > Математика > Десять лекций по вейвлетам
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3. Фреймы вейвлетов

Мы видели в § 3.1, что для численно устойчивого алгоритма восстановления по мы требуем, чтобы образовывали фрейм. В § 3.2 мы построили алгоритм восстановления по в случае, когда действительно образуют фрейм. Для этого алгоритма важным является отношение границ фрейма. Позднее в этом пункте мы вернемся к способам вычисления, по крайней мере, оценки этого отношения. Однако вначале покажем, что если образуют фрейм, то — допустима.

3.3.1. Необходимое условие: допустимость материнского вейвлета

Теорема 3.3.1. Если образуют фрейм в с границами А, В, то

и

Доказательство.

1. Для любой мы имеем

Если мы запишем (3.3.3) для и просуммируем полученные неравенства с весовыми коэффициентами такими, что тогда мы получим

В частности, если С — некоторый положительный ядерный оператор (см. предварительные сведения), то

где — ортонормированы, Вследствие (3.3.4), для любого такого оператора мы имеем

2. Теперь применим (3.3.5) к специальному оператору С, построенному с помощью непрерывного вейвлет-преобразования с другим материнским вейвлетом. Возьмем такую функцию из что и определим семейство а для по аналогии со сделанным во второй главе. Если — положительная ограниченная функция, то оператор

положителен и ограничен (см. § 2.8). Если, дополнительно, является интегрируемой по , то С — ядерный оператор, и Рассмотрим случай, когда если 1 а в противном случае, при этом — положительная и

интегрируемая. Тогда мы имеем

и

3. Для определенного таким образом С средний член из (3.3.5) превращается в

Но

После замены переменных мы получаем

Возьмем Эта функция имеет только один локальный максимум и монотонно убывает с ростом Элементарные рассуждения об аппроксимации интегралов (полностью эти рассуждения можно

найти в работе Добеши [54], лемма 2.2) показывают, что для таких функций и любых

или, для нашего случая,

где Следовательно,

где

определена формулой (2.4.1). Первый член из (3.3.7) можно переписать следующим образом

4. Для весовой выполняете» Отсюда следует, что Подставляя полученные результаты в (3.3.5), находим

где Разделив на и устремив к нулю, получаем (3.3.1). Формула (3.3.2) для отрицательных частот доказывается аналогично.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление