Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

21.4 Связь с сопряженным оператором.

Пока мы нигде не использовали понятия сопряженного оператора. Отметим, что в приложениях дефектные функционалы обычно фигурируют как решения однородного союзного или формально сопряженного уравнения и не возникает нужды в привлечении понятия сопряженного оператора. Однако привлечение этого понятия делает теорию более симметричной (см. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн [1]).

Пусть В — оператор, сопряженный к В. Известно, что

Теорема 21.2. Дефектные функционалы являются нулями оператора В и составляют базис в — подпространстве нулей оператора В; иными словами,

Доказательство. Для любого имеем

Из произвольности х и следует, что и первая часть теоремы доказана.

Пусть теперь — произвольный нуль оператора В, т. е. Рассмотрим функционал

где удовлетворяют условиям (21.11).

Покажем, что для любого и откуда будет следовать, что т. е. равенство которое составляет утверждение второй части теоремы.

Но по (21.13) имеем представление

и, пользуясь равенствами и (21.11), получим

Теорема доказана.

Теорема 21.3. Если В есть Ф-оператор, то В также является Ф-оператором и при

Доказательство. Очевидно, интересен лишь случай

Переходя в равенстве (21.8) к сопряженным операторам, получим для любого

Таким образом, где имеет ограниченный обратный оператор Г, ибо конечномерный (вполне непрерывный) оператор. По теореме 21.1 С. М. Никольского В есть, Ф-оператор, а из теоремы 21.2 следует, что Рассмотрим неоднородное уравнение

Имеем т. е. условия необходимы для разрешимости указанного уравнения. Но элементы линейно независимы и число их равнотг, поэтому они образуют базис в , значит, Теорема доказана.

Итак, однородное уравнение имеет общее решение

а для разрешимости неоднородного уравнения необходимо и достаточно, чтобы

и в этом случае его общее решение имеет вид

Из формул (21.23) и (21.11), а также из теоремы 21.2 имеем двойственные к (21.22) формулы

Из той же формулы (21.23) в сочетании с формулой (21.18) имеем

При доказательстве теоремы 21.3, в частности, было показано, что оператор (Б имеет ограниченный обратный оператор. Это утверждение является двойственным к лемме Шмидта.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление