Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19. Другие задачи о периодических решениях

19.1. Особые периодические решения неавтономных систем.

Рассмотрим неавтономную систему дифференциальных уравнений

в предположении, что неизвестный вектор при каждом фиксированном значении принадлежит вещественному или комплексному -мерному пространству , А — вещественная постоянная матрица, заданный вектор является непрерывным и -периодическим по , а заданная вектор-функция удовлетворяет следующему

условию:

где непрерывны по совокупности аргументов, -периодичны по и голоморфны по в некоторой окрестности нуля комплексной плоскости.

Пусть — класс -периодических по вектор-функций каждая из которых представима в виде

где — положительное рациональное число и вектор-функция непрерывна по совокупности аргументов

В классе мы введем норму, полагая, что при О

Решение системы (19.1) называется особым, если

Мы будем искать особые решения, принадлежащие классу и имеющие при порядок роста меньший чем Вопрос об особых решениях с другим ростом мы здесь рассматривать не будем.

Сделаем подстановку (см. (14.2))

и рассмотрим случай, когда

Тогда система (19.1) примет вид

причем компоненты вектора будут удовлетворять тем же условиям, что и

Легко устанавливается взаимно однозначное соответствие между совокупностью малых -периодических решений системы (19.6) и совокупностью всех -периодических решений (указанного вида и роста) системы (19.1). Поэтому для нахождения особых решений (указанного вида и роста) системы (19.1) достаточно найти все малые -периодические решения системы (19.6) и выделить те из них, у которых .

Замечание 19.1. Если условие (19.5) нарушается, то вместо системы (19.6) получим

где обладает теми же свойствами, что и , а

причем непрерывны и -периодичны по Так как порождающая система для (19.7) является нелинейной, то путем перехода к уравнению в вариациях можно свести исследование к рассмотренному случаю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление