Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18. Примеры

18.1. Неавтономные системы с одной степенью свободы.

Пример 18.1. Рассмотрим систему

где

и — непрерывные периодические функции с периодом Порождающая система

имеет двупараметрическое семейство -периодических решений

Из этого семейства в качестве исходного решения системы (18.3) мы выберем тривиальное решение

и займемся задачей (4) (см. конец п. 16.1).

Учитывая (15.4) и (15,5), мы напишем решение системы (18.1) в виде

Вычислим первые коэффициенты этих рядов

Для краткой записи других коэффициентов используем матрицу (оператор)

умножение которой на вектор дает вектор по формуле

Дальнейшие вычисления приводят к формулам

(см. скан)

При помощи коэффициентов можно вычислить коэффициенты системы (16.6) и (16.7).

Так как для рассматриваемого примера то система (16.7) отсутствует. Далее, так как система (18.3) является самосопряженной, то (16.6) совпадает с системой (15.6), принимающей (после сокращения на вид

где

Мы будем предполагать, что не все при

Так как (см. (15.8)) при . Учитывая теперь (18.7) и формулы для коэффициентов (18.5), мы отсюда находим

В дальнейшем мы будем предполагать, что эти условия выполнены.

Заметим, что если в качестве исходного решения порождающей системы (18.3) взять

то, как показывают вычисления, параметры должны удовлетворять уравнениям

Матрица Якоби в нуле от по принимает в рассматриваемом случае (когда ) вид

Если , то система (18.6) имеет единственное решение. Это решение имеет вид

и ряды сходятся в некоторой окрестности точки Подставляя (18.10) в (18.4), мы получим единственное решение задачи (А):

Пусть Тогда хотя бы один элемент матрицы (18.9) отличен от нуля. Допустим, что этим элементом является Применяя тогда к первому уравнению системы (18.6) теорему 1.2 о неявных функциях, мы получим единственное локальное решение для

Методом неопределенных коэффициентов мы находим, что

Подставляя (18.11) во второе равенство системы (18.6) получим уравнение разветвления

где

Данное уравнение (18.12) исследуется при помощи диаграммы Ньютона так же, как в п. 2.7.

Например, если то (см. рис. 8, случай ), корни определяющего уравнения

простые, так что уравнение (18.2) имеет два малых решения и они представимы в виде сходящихся рядов

Отсюда следует, что и задача имеет два решения

причем функции можно определить и методом неопределенных коэффициентов.

Для выделения вещественных решений уравнения (18.12) мы поступаем (см. п. 2.6) следующим образом. Пусть Тогда, так как то нужно отдельно исследовать уравнение (18.12) как для так и для , т. е. уравнения

Данные уравнения имеют вещественные корни лишь при условии Следовательно, задача для системы (18.1) имеет два вещественных решения. Они представимы в виде (18.14) и определены для при или для при

Если то (см. рис. 8, случай и определяющее уравнение принимает вид

Повторяя предыдущие рассуждения, мы найдем, что задача (4) для системы (18.1) имеет лишь следующие решения

Эти решения являются вещественными при и комплексными при

Если то (см. рис. 8, случай г) и случай и задача для системы (18.1) имеет лишь два решения и они представимы в виде (18.15). Эти два решения вещественны при

и комплексны при

Рассмотрим, наконец, случай, когда все элементы матрицы (18.9) равны нулю. Тогда система (18.6) является уравнением разветвления задачи (4) для системы (18.1). Мы будем предполагать, что в данном случае система (18.6) является регулярной (см. определение 3.1) относительно так как в противном случае ее можно привести к регулярному виду (см. п. 3.1), и воспользуемся некоторыми результатами § 5.

Пусть, например,

Тогда (см. п. 5.3) рассматриваемая задача имеет при два вещественных решения при и два вещественных решения при . Эти решения представимы в виде сходящихся рядов (18.14). При рассматриваемая эадача имеет четыре комплексных решения вида (18.14).

Пример 18.2. Рассмотрим частный случай системы (18.1):

и за решение порождающего уравнения примем нулевое решение. В данном частном случае матрица (18.9) является нулевой, так что система (18.6) представляет собою уравнение разветвления задачи для системы (18.16). При помощи формул (18.5) и (18.7) мы находим, что система (18.6) принимает вид

где и аналитические функции удовлетворяют условиям При помощи линейного преобразования

система (18.17) приводится к регулярному виду:

Исключая отсюда неизвестное получим

Выясним вопрос о вещественных решениях данного уравнения. Уравнение (18.19) можно сократить на Я, но мы непосредственно воспользуемся результатами Получаем

Ввиду зтого уравнение разветвления имеет лишь два малых вещественных решения

определенные при Следовательно, рассматриваемая задача имеет лишь два малых вещественных решения. Эти решения представимы в виде сходящихся рядов по степеням в некоторой правой полуокрестности точки Для построения зтих решений можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.

Ищем решения в виде рядов

Для определения коэффициентов мы подставляем (18.20) в (18.16) и сравниваем коэффициенты при

одинаковых степенях к. Получаем рекуррентные системы

(см. скан)

Системы (18.21) имеют общие решения

где — произвольные постоянные, которые затем будут подобраны так, чтобы решения следующих здесь систем были периодическими функциями с периодом

Так как то из условия -периодичности решений системы (18.22) мы находим

Данное равенство может выполняться при одном из следующих условий:

Таким же образом из условий -периодичности решений систем (18.23) и (18.24) мы находим

и

Следовательно, с точностью до величин порядка вещественные решения рассматриваемой задачи имеют вид: первое решение

второе решение

Аналогично определяются члены более высокого порядка (относительно ) этих решений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление