Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17. Периодические решения автономных систем

17.1. Задача Пуанкаре для автономных систем.

Рассмотрим систему

где — вектор из вещественного пространства — малый вещественный параметр, — голоморфные функции от со значениями в

Пусть является -периодическим решением порождающей системы

Ставится следующая

Задача Найти все -периодические решения системы (17.1), удовлетворяющие условиям

При этом предполагается непрерывность .

Данная задача является более трудной по сравнению с аналогичной задачей, рассмотренной в § 15, для неавтономных систем, так как здесь и период Т (X) является неизвестной функцией параметра X.

Замечание 17.1. Заметим, что без ограничения общности можно считать, что

Действительно, полагая

где — скалярное произведение в пространстве мы будем иметь, что Отсюда по теореме Ролля имеем

или

Так как система (17.2) является автономной, то путем сдвига получим

т. е. что векторы ортогональны. Выберем теперь систему координат в так, чтобы выполнялось равенство (17.4). Тогда в силу ортогональности будет выполняться и (17.3). В дальнейшем мы будем предполагать, что равенства (17.3) и (17.4) выполнены.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление