Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16.2. Условия периодичности.

Пусть фундаментальная матрица системы (16.4), причем

Так как согласно предположению о корнях характеристического уравнения (16.3) система (16.4) имеет и только линейно независимых -периодических решений, то (см. И. Г. Малкин [1], стр. 118) нумерацию функций можно так изменить, чтобы

Используя теперь метод Пуанкаре (см. п. 15.2), получим (см. И. Г. Малкин [1], стр. 119), что условие периодичности (15.6) примет в данном случае вид

и

При этом согласно неравенству (16.5) ранг матрицы Якоби системы (16.7) относительно координат вектора вточкеах равенге — Ввиду этого из системы (16.7) можно выразить неизвестных через остальные неизвестных, которые мы обозначим через Так как по условию (см. п. 15.1) — голоморфная функция по , то согласно теореме 1.2 о неявных функциях неизвестных будут голоморфными функциями от Подставляя их в систему (16.6) и учитывая, что — голоморфные функции по , получим

систему

где — голоморфные функции в некоторой окрестности нуля.

Как и в п. 15.3, нас будут интересовать лишь малые решения системы (16.8), так как между ними и всеми решениями задачи существует взаимно однозначное соответствие (см. лемму 15.1). Ввиду этого, для того чтобы решение можно было продолжить по А как -периодическое решение уравнения (16.1), необходимо выполнение условий

В дальнейшем мы будем предполагать, что эти условия выполнены.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление