Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

15.5. Описание решений в одномерном случае ветвления.

При уравнение (15.9) принимает вид

и его можно записать в виде (12.4), т. е. имеем одномерный случай ветвления. Так же, как в п. 12.2, если не все коэффициенты уравнения разветвления равны нулю, при помощи диаграммы Ньютона мы находим все малые решения уравнения (15.12):

По найденным значениям мы находим все решения системы (15.7); они также будут представимы в некоторой окрестности точки в виде сходящихся рядов по целым степеням где натуральные числа. Подставляя эти значения а в (15.5), мы по формуле (15.4) получим все -периодические решения поставленной задачи:

— натуральные числа). Эти ряды сходятся в некоторой окрестности точки Мы приходим к следующим предложениям.

Теорема 15.2. Если не все коэффициенты уравнения разветвления (15.12) равны нулю, то от заданного -периодического решения порождающего уравнения (15.2) ответвляется конечное число непрерывных оапериодических решений уравнения (15.1). При этом компоненты каждой ветви представимы в некоторой окрестности точки в виде сходящихся рядов (15.14).

Теорема 15.3. Если все коэффициенты уравнения разветвления (15.12) равны нулю, то от заданного -периодического решения порождающего уравнения (15.2) ответвляется однопараметрическое семейство апериодических решений

где — произвольный параметр и

В условиях теоремы 15.2 числа находятся при помощи диаграммы Ньютона.

Заметим, что частные случаи, рассмотренные в п. 2.7, приводят, как в п. 12.2, к различным выводам о числе всех -периодических решений рассматриваемой задачи, о виде каждого решения, а в вещественном случае, т. е. когда пространство и параметр X вещественны, о числе вещественных решений и о виде каждого из них.

Как и в предыдущем пункте, вектор-функции входящие в ряды (15.14), могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов.

Рассуждая, как в предыдущем пункте, мы приходим к предложению.

Теорема 15.4. Если не все коэффициенты одномерного уравнения разветвления (15.12) равны нулю, то всякое формальное -периодическое решение поставленной для уравнения (15.1) задачи является и настоящим.

В дальнейшем будет показано (см. пример в п. 16.4), что в условиях теоремы 15.3 возможны формальные решения, которые не являются настоящими.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление