Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14.4. Исследование вспомогательного уравнения.

Исследование вспомогательного уравнения мы начнем с рассмотрения регулярного случая. Пусть 1 не является собственным значением оператора Т:

Тогда (см. п. 10.2) уравнение (14.9) имеет (при фиксированных малых значениях единственное малое решение, и оно представимо в виде сходящегося ряда по целым степеням X, т. е. в виде (10.9). Отсюда согласно предыдущему уравнению (14.1) имеет особое решение вида

Нами, следовательно, установлено предложение.

Теорема 14.1. Пусть выполнены условия:

1. 1 не является собственным значением ядра

2. Либо ядро входящее в уравнение (14.4), положительно или квазиотрицателъно и к — нечетное число, либо — положительно определенное ядро.

3. — какое-нибудь ненулевое решение уравнения (14.5).

4. 1 не является собственным значением оператора Т, заданного равенством (14.10).

Тогда уравнение (14.1) имеет особое решение вида (14.11), где — непрерывные функции.

Отметим, что в условиях данной теоремы уравнение (14.1) может иметь бесчисленное множество особых решений вида (14.11), так как уравнение (14.7) имеет континуум ненулевых решений отвечающих значениям

Пусть 1 — простое собственное значение оператора Т. Тогда, как и в § 10, мы для уравнения (14.9) составляем уравнение разветвления, совпадающее по виду с уравнением (12.4), и при его помощи получаем описание малых решений уравнения (14.9).

В тривиальном случае, т. е. когда все коэффициенты уравнения (12.4) равны нулю, уравнение (14.9) имеет бесчисленное множество малых решений (однопараметрическое семейство решений). Каждое такое решение, в силу соотношений (14.8) и (14.2), приводит к особому решению вида

уравнения (14.1).

Если в уравнении разветвления (см. примеры 12.2.1 — 12.2.6), то в комплексном случае каждое малое решение, в том числе и решения уравнения (14.9), равные нулю тождественно, приводит к особому решению уравнения (14.1), главный член которого имеет вид и . К таким же выводам нас приводят примеры 12.2.7 — 12.2.9. Нас, однако, здесь интересует лишь вещественный случай. В вещественном случае (см. пример 12.2.3) уравнение (14.9) может и не иметь малых решений, тогда при данном уравнение (14.1) может не иметь особых решений рассматриваемого вида.

Пусть, наконец, 1 — собственное значение кратности оператора Т. Тогда уравнение разветвления, составленное для уравнения (14.9), примет вид (12.6). В этом случае теоремы 12.6 и 12.7 приводят к различным утверждениям о малых решениях уравнения (14.9). Но, как мы

видели, если — малое решение уравнения (14.9), то

является особым решением уравнения (14.1).

Отметим еще, что построение особых решений рассматриваемого здесь вида фактически сводится к построению малых решений уравнения (14.9), т. е. к использованию приемов, изложенных в § 13. Правда, в отличие от приемов построения малых решений, рассмотренных в § 13, здесь возникает дополнительная трудность, связанная с построением ненулевого решения уравнения (14.5), аналитический вид которого зависит от аналитического вида ядра

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление