Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. О свойствах решений.

Займемся выяснением некоторых свойств решений, получающихся методом диаграммы Ньютона.

Теорема 2.1. Получаемое методом диаграммы Ньютона разложение (2.4) расположено по возрастающим степеням X, т. е.

Доказательство. Достаточно доказать, что так как другие неравенства устанавливаются аналогично. Возьмем то решение (2.4), для которого является наибольшим.

В этом случае

где — порядок нуля функции в точке т. е. показатель наименьшей степени членов ряда для .

Исходя из (2.5) и считая переменным, напишем

где

или

и

где

Согласно предыдущему является корнем многочлена Пусть — кратность этого корня. Положим

Так как то из (2.8) и (2.10) следует

Далее, из равенства

в силу (2.9) и условия находим

Заметим, что если то возможно равенство , так что

а потому при и к

При нахождении главного члена разложения для V, т. е. при нахождении числа В. будут играть ту же роль, что при нахождении е. Ввиду этого

Но из (2.11) и неравенства В. а имеем

т. е.

Замечание 2.1. Пусть корень многочлена Тогда степень этого многочлена не выше кратности к корня многочлена Действительно, степень многочлена равна наибольшему значению и, при котором

Если теперь допустить, что и , то в силу (2.12) и (2.11) получим

Полученное противоречие доказывает утверждение.

Данная теорема показывает, что поведение решения (2.4) при определяется первым (главным) членом Нас будут лишь интересовать такие решения, для которых так как у таких решений главный член стремится к нулю при

Диаграмма Ньютона может состоять из трех участков: убывающего, горизонтального и возрастающего.

Убывающий участок дает малые решения, т. е. такие, которые стремятся к нулю при Только они и будут нас интересовать в дальнейшем. Горизонтальный участок дает решения для которых Возрастающий участок дает решения , для которых

Дальнейшее исследование свойств решений, получающихся методом диаграммы Ньютона, приводит к следующим предложениям (см., например, Н. Г. Чеботарев [2], теоремы 64 и 65).

Теорема 2.2. В разложении

показатели являются дробями с конечным общим знаменателем.

Теорема 2.3 (Пюизе [1]). Получаемые методом диаграммы Ньютона ряды (2.4) сходятся в некоторой окрестности точки за исключением самой точки если

Эти предложения мы докажем в пп. 2.4 и 2.5 для интересующего нас случая уравнения разветвления.

Отметим еще, что диаграмма Ньютона может быть применена к нахождению решений вида (2.4) уравнения (2.3) и тогда, когда

В этом случае диаграмма может состоять из счетного числа отрезков. Однако если интересоваться лишь малыми решениями, то мы должны рассмотреть только убывающий участок диаграммы, определяющий положительные для (2.4). Ясно, что убывающий участок диаграммы всегда состоит из конечного числа отрезков.

Рис. 2.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление