Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Построение решений нелинейных интегральных уравнений

13.1. О способах построения решений.

Рассмотрим вновь нелинейное интегральное уравнение вида (12.1), где — тождественный оператор, А — линейный интегральный оператор.

Если оператор В имеет ограниченный обратный (регулярный случай), то уравнение (12.1) имеет единственное малое решение и оно представимо в некоторой окрестности

точки в виде стеленного ряда по целым степеням . В этом случае наиболее простым является способ неопределенных коэффициентов, т. е. способ построения решения в виде ряда по степеням с неизвестными коэффициентами:

Для определения неизвестных коэффициентов решение (13.1) подставляется в уравнепие (12.1), и путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях получается рекуррентная система для неизвестных Этот способ построения решения в виде ряда по степеням Я известен давно, и обычно этот способ применяется без информации о существовании и единственности малых решений уравнения (12.1). Именно, после подстановки (13.1) в уравнение (12.1) получается рекуррентная система для определения неизвестных Однако если оператор В необратим, то эта система может и не иметь решения (хотя при ее помощи может быть найдено конечное число первых коэффициентов или иметь более одного решения. Если рекуррентная система имеет решения, то для доказательства сходимости ряда (13.1) строятся мажоранты.

Если для мажорантного ряда найден радиус сходимости, то этот радиус дает оценку радиуса сходимости ряда (13.1).

Если оператор В необратим, т. е. 1 является собственным значением оператора .4, то, как мы видели, возможно явление ветвления. В этом случае уравнение разветвления (12.4) или (1.2.6) может и не иметь малых решений или может иметь решения, расположенные по дробным степеням . В последнем случае уравнение (12.1) может иметь малые решения вида

где и — натуральные числа. Таким образом, если

ратор В необратим, то применение метода неопределенных коэффициентов без предварительной информации о числе и виде малых решений уравнения (12.1) может привести к непреодолимым трудностям.

Второй способ заключается в том, что мы находим все малые решения уравнения (12.4) или системы (12.6), если число их конечно (соответствующие условия конечности числа малых решений были найдены в главах I и II).

В этом случае, как мы видели, каждое малое решение уравнения разветвления представимо в виде сходящегося ряда по целым или дробным степеням к. Коэффициенты этих рядов для могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов (см., например, замечание в конце п. 2.4). Далее, каждое найденное малое решение уравнения разветвления подставляется соответственно в (12.3) или (12.5), что приводит к малому решению уравнения (12.1). При этом нужно предварительно вычислить или как это было сделано, например, в § 10.

Третий способ заключается в следующем. Сначала методами, указанными в главах I и II, получается информация о числе всех малых решений уравнения разветвления и о виде каждого решения (в квазирегулярном случае), т. е. по каким дробным степеням оно представляется. Тем самым мы получаем информацию о числе малых решений уравнения (12.1) и о том, по каким дробным (или целым) степеням к представляется каждое малое решение уравнения (12.1). Мы записываем тогда решение в виде ряда (13.2), который имеет некоторый интервал сходимости, и для определения неизвестных мы пользуемся методом неопределенных коэффициентов, т. е. подставляем (13.2) в (12.1) и сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях к. При этом рекуррентный процесс для определения разрешим и ряды будут сходящимися. Так получаются локальные решения уравнения (12.1). Разумеется, если решение (13.2) построено, то можно поставить вопрос о нахождении или об оценке радиуса сходимости.

13.2. Одномерный случай ветвления. Для простоты мы рассмотрим уравнение Гаммерштейна (10.1) в предположении, что функции и параметр вещественны. Пусть уравнение (10.1) приведено к виду (10.4)

и 1 — простое собственное значение оператора А:

Пусть — нормированная собственная функция оператора А, принадлежащая 1, и — нормированная собственная функция сопряженного оператора А, принадлежащая тому же собственному числу 1.

Допустим, что для уравнения разветвления имеет место случай 12.2.8, т. е. для но этом случае уравнение (10.4) имеет малых решений и каждое из них представимо в виде

Для вычисления мы воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим два примера. Пусть Подставляя ряд (13.3) в (10.4) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях К, получим систему

где — многочлены.

Первое уравнение системы имеет решение

где пока произвольная постоянная. Используя формулы для коэффициентов формулы (11.8)), мы из условий разрешимости второго уравнения системы найдем, что

а значит, для мы получаем два вещественных решения (либо для либо для — см. 12.2.8). Все остальные определяются однозначпо через а значит, при мы из (13.3) получим два решения. Действительно, для второго уравнения системы имеем решение

где — вполне определенная функция, а — произвольная пока постоянная. Из условия разрешимости третьего уравнения системы имеем

откуда находим Продолжая данный процесс, мы для уравнения системы найдем решение

где — вполне определенная функция, а — постоянная, определяющаяся из следующего условия разрешимости -го уравнения системы:

Пусть Так же, как раньше, получаем систему

Первое уравнение системы имеет решение

Условие разрешимости второго уравнения дает

а так как то отсюда нельзя определить. Решение второго уравнения имеет вид

где зависит от а потому содержит Подсчет показывает, что (ср. (10.7))

где

Условие разрешимости третьего уравнения системы дает

или, так как

Отсюда следует, что для а значит и для получается три значения, из которых одно вещественно. Другие коэффициенты ряда (13.3) определяются однозначно по выбранному коэффициенту Для третьего

уравнения находим решение

Из условия разрешимости четвертого уравнения находим

откуда определим , а значит, и Продолжая данный процесс, определим, что найдется из условия разрешимости уравнения:

Если для простоты в общем случае положить , то подстановка ряда (13.3) в (10.4) приводит к системе

где — многочлены.

Первые уравнений системы имеют решения

Условие разрешимости уравнения дает

откуда для а значит и для имеем значений. Остальные коэффициенты находятся однозначно по выбранному так что для

уравнения (10.1) мы в данном случае имеем решений. Действительно, из условия разрешимости уравнения имеем

откуда а значит, и определяются однозначно. Таким же образом устанавливается, что условие разрешимости уравнения дает

откуда однозначно находится , а значит, и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление