Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12.4. Описание решений в двумерном случае ветвления.

В § 5 было исследовано уравнение разветвления (12.6) при Это исследование приводит к следующим выводам о малых решениях уравнения (12.1).

Пусть - результант многочленов (см. (5.2)) и , где — максимальная допустимая степень X. Используя тогда теорему 5.1, мы приходим к предложению.

Теорема 12.5. Имеют место утверждения:

I. Если то уравнение (12.1) не имеет малых решений.

II. Для того чтобы в двумерном случае ветвления уравнение (12.1) имело конечное число I малых решений,

необходимо и достаточно, чтобы

При этом, если то и каждое малое решение представимо в виде сходящегося ряда по целым или дробным степеням

III. Если или все коэффициенты уравнения разветвления (12.6) при равны нулю, то уравнение (12.1) имеет семейство решений, соответственно зависящее от одного или двух параметров.

Заметим, что в условиях III теоремы возможны решения уравнения (12.1) в виде расходящихся степенных рядов, т. е. формальные решения. Приведем такой пример. Пример 12.1.

Собственными функциями данного симметричного ядра

будут

Полагая

получим

Отсюда и из (10.19) следует, что отлично от тождественного нуля лишь при причем Используя теперь формулы (10.22), находим, что при так что согласно равенству (10.20) имеем

Так как согласно (10.23) из равенства при следует, что все коэффициенты двумерного уравнения разветвления равны нулю, то и могут принимать произвольные значения. Полагая

где — произвольное число, получим решение вида

Устремляя к бесконечности, мы получим формальное решение приведенного примера.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление