Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Коэффициенты уравнения разветвления

В предыдущем параграфе мы видели, что задача о нахождении всех непрерывных решений уравнения (10.1), стремящихся при к известному решению (см. (10.2)), сводится как к отысканию коэффициентов, входящих в формулы (10.14) и (10.20), так и к нахождению всех малых решений уравнений разветвления (10.18) и (10.24). Ввиду этого мы сначала займемся здесь вычислением первых коэффициентов уравнений разветвления (10.18) и (10.24) при Знание этих коэффициентов позволит нам построить и самые решения как уравнения (10.1), так и частных его видов.

11.1. Коэффициенты одномерного уравнения разветвления общего нелинейного интегрального уравнения.

Здесь мы вычислим первые коэффициенты уравнения разветвления (10.18), исходя из формул (10.17) и (10.16).

Для упрощения формул, определяющих мы предварительно выведем некоторые соотношения.

Из равенств (10.13) имеем

где — резольвента Фредгольма ядра

Используя теперь формулу (8.4), мы из (11.1) находим (считая фиксированным)

или, учитывая выражение для

или

Так как данное уравнение имеет решение относительно то правая часть его по теореме Фредгольма должна быть ортогональна — собственной функции оператора Т (см. (10.6)), т. е.

Отсюда имеем

Таким образом, исходя из формул (10.13), получаем

Используя формулы (11.2) и (11.3), мы из (10.17) и (10.16) находим

Таким же образом находим, что

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

Для дальнейшего нам потребуется следующее предложение.

Лемма 11.11). Пусть для . Тогда

для

и

Доказательство. Из (10.13) следует, что в условиях леммы

Учитывая данные равенства и полагая в равенстве (10.15), получим

Так как порядок правоё части данного равенства относительно не меньше к, то в левой части этого равенства должно быть Ввиду этого предыдущее равенство принимает вид

Отсюда следует, что для

и

Применяя теперь формулы (10.17) и (11.2), мы придем к утверждению леммы.

Отметим, что в условиях леммы упрощаются и другие формулы для коэффициентов Например, если то получаем

(см. скан)

Рассмотрим теперь частный случай уравнения (10.1). Пусть выполнено условие (10.5). Используя тогда формулы (10.17), (11.2), (11.3), (10.25) и (10.27), мы в рассматриваемом частном случае (10.5) приходим к следующим формулам для первых коэффициентов уравнения разветвления (10.18):

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

Для дальнейшего мы приведем следующее предложение.

Лемма 11.2. Пусть выполнено условие

или Тогда

Доказатель ство. Сначала заметим, что если то а потому согласно (10.7) и Полагая теперь в равенстве и учитывая как равенство так и то, что в рассматриваемом случае при получим

Правая часть этого равенства представляет собою ряд, порядок которого относительно К не ниже 3, а потому из левой части равенства находим, что Ввиду этого предыдущее равенство принимает вид

Отсюда так же, как раньше, находим, что Продолжая этот процесс, мы найдем, что для где Используя теперь формулы (10.17), получим Лемма доказана.

Из данной леммы вытекает, что при упрощаются и другие из формул (11.6) для коэффициентов

Именно, при имеем

(см. скан)

Коэффициенты вычисляются по формулам (11.6) без изменения. Отметим еще, что формулы (11.6) упрощаются и в условиях леммы 11.1.

Лемма 11.3. Если коэффициенты, входящие в уравнение (10.4), удовлетворяют условию

то

Доказательство. Из условия согласно (10.7) следует, что Полагая теперь в равенстве отсюда получим

Порядок ряда, стоящего справа, относительно X не ниже трех, а потому из левой части равенства следует, что Предыдущее равенство принимает вид

Повторяя предыдущие рассуждения, мы из данного равенства находим, что Продолжая этот процесс, мы получим, что для Полагая придем к первому утверждению леммы. Отсюда и из (10.17) следует второе утверждение леммы.

Отметим, что в условиях данной леммы упрощаются и другие из формул (11.6) для коэффициентов

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление