Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.4. Многомерный случай ветвления.

Рассмотрим теперь случай, когда 1 является -кратным собственным значением оператора Т (см. (10.6)). Пусть

— ортонормированные собственные функции оператора Т, принадлежащие собственному числу 1, и — ортонормированные собственные функции оператора (см. (10.6)), принадлежащие тому же числу 1. Так же, как в п. 8.3, рассмотрим ядро

и положим (см. п. 8.5)

Тогда уравнение (10.4) примет вид

По лемме Шмидта существует резольвента Фредгольма ядра так что согласно формуле (8.4) последнее уравнение преобразуется к виду

Используя теперь формулу (8.27) и обозначения (10.13), мы приходим к уравнению

которое, как мы видели в п. 8.5, имеет при достаточно малых фиксированных единственное непрерывное решение, и оно представимо в виде равномерно сходящегося ряда

с непрерывными коэффициентами

Для нахождения можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, т. е. подставить (10.20) в (10.19) и сравнить коэффициенты при одинаковых одночленах относительно .

В качестве примера мы вычислим первые коэффициенты решения (10.20) в предположении, что . В этом случае (10.20) принимает вид

Подставляя данное выражение в (10.19) и отбрасывая линейные члены, получим

Сравнивая коэффициенты при одинаковых одночленах относительно и мы находим следующую рекуррентную систему для

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Для определения возможных значений входящих в формулу (10.20), мы подставим (10.20) в (8.22). Учитывая, что функции ортонормальпы, получаем

Эти равенства после введения обозначений

принимают вид

Данная система, как было отмечено раньше, называется уравнением разветвления Ляпунова — Шмидта. Таким образом, возможные значения , для которых формула (10.20) определяет решения уравнения (10.19), представляют собою малые решения системы (10.24), если эта система совместна относительно малых решений. Для решения вопроса о совместности системы (10.24) и о нахождении ее малых решений мы в дальнейшем воспользуемся результатами § 6. Таким путем может быть решен вопрос о числе и виде всех малых решений уравнения (10.19), когда 1 является ратным собственным значением оператора Т. Прибавляя к каждому такому решению решение (см. уравнение (10.2)), мы получим семейство всех решений уравнения (10.1), стремящихся к при Эти вопросы мы изучим в следующем параграфе, а пока

займемся вычислением коэффициентов для наиболее важных частных случаев уравнения (10.1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление