Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.6. Другой способ построения уравнения разветвления

Рассмотрим в пространстве раз непрерывно дифференцируемых функций уравнение

и допустим, что при оно имеет решение причем

где непрерывны. Полагая

и учитывая, что

получим

где

Применяя к обеим частям равенства (9.29) операцию (см. (9.30)) и полагая

получим

Из самого перехода от системы (9.29) — (9.30) к уравнению (9.31) следует, что всякое решение системы (9.29) — (9.30) удовлетворяет уравнению (9.31). Пусть — пара функций, удовлетворяющая уравнению (9.31). Тогда функция

удовлетворяет системе (9.29) — (9.30).

Действительно,

Ввиду этого достаточно исследовать интегральное уравнение (9.31). Пусть 1 — собственное значение кратности интегрального оператора А:

— нормированные собственные функции оператора А; — нормированные собственные функции сопряженного оператора А. Так же, как в составим ядро

положим

и обозначим через резольвенту Фредгольма ядра Тогда (ср. (10.19)) получим

Отсюда и из (9.32), следует, что

Данное уравнение (см. п. 8.5) при достаточно малых фиксированных имеет единственное непрерывное решение, и оно представимо в виде равномерно сходящегося ряда

с непрерывными коэффициентами

Подставляя (9.34) в (9.33), мы получим уравнение разветвления вида (10.24) для определения возможных значений Коэффициенты решения (9.36) и коэффициенты уравнения разветвления рассматриваемой задачи вычисляются так же, как в §§ 10 и 11.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление