Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.4. Некоторые нелинейные интегро-дифференциальные уравнения первого порядка.

Здесь мы рассмотрим интегро-дифференциальные уравнения, которые сводятся к системам нелинейных интегральных уравнений Ляпунова — Шмидта,

Пусть пространство непрерывно дифференцируемых функций, заданная функция этого пространства и и неизвестная функция этого пространства. Положим

и рассмотрим уравнение

где

Мы будем предполагать, что выполнены условия:

1. Правая часть равенства (9.18) сходится регулярно, когда

причем

где (см. n. 7.1) .

2. Все ядра непрерывны по совокупности аргументов и имеют по производные первого порядка

непрерывные по совокупности аргументов.

3. Имеет место неравенство

где

В силу условия (9.19) правую часть (9.18) можно почленно дифференцировать, так что из (9.18) мы находим, что

где

Из (9.19) и (9.20) следует регулярная сходимость правой части равенства (9.21), ибо из (9.19) мы находим, что

если то сходится ряд

Рассмотрим теперь систему

отличающуюся от системы равенств (9.18) и (9.21) лишь тем, что заменено на Данная система (9.22) удовлетворяет тем же условиям, что и система (9.1). Ввиду этого все предложения, установленные для системы (9.1) в предыдущих пунктах данного параграфа, сохраняются и для системы (9.22).

Пусть и — какое-нибудь решение системы (9.22), полученное при достаточно малых Покажем, что

откуда будет следовать, что и — решение уравнения (9.18) при достаточно малых

Действительно, дифференцируя по первое равенство системы (9.22) и учитывая выражения для

и

мы получим выражение, вычитание из которого второго

равенства системы (9.22) даст

Так как при достаточно малых малы то абсолютное значение суммы, стоящей в правой части последнего равенства, можно считать меньше единицы. Ввиду этого последнее равенство возможно лишь тогда, когда Этим доказано наше утверждение. Из данного утверждения вытекает, что регулярный случай и случай ветвления для интегро-дифференциального уравнения (9.18) сводятся к соответствующим случаям, изученным для системы (9.1) в пп. 9.2 и 9.3.

Отметим, что если в уравнении то в системе (9.22) будут отсутствовать последние слагаемые в левых частях равенств этой системы. Вопрос о том, имеем ли мы в этом частном виде уравнения (9.18) регулярный случай или случай ветвления, решается проще: если 1 не является собственным значением оператора

то имеем регулярный случай, а если 1 — собственное значение оператора то имеем случай ветвления.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление