Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.5. Многомерный случай ветвления.

Пусть 1 является -кратным собственным значением оператора ортонормированные собственные функции оператора А, принадлежащие числу ортонормированные собственные функции оператора А (см. (8.3)), принадлежащие 1. Подставляя значение из (8.8) в (8.1), получим

Полагая здесь

получим

Так как по лемме Шмидта 1 не является собственным значением оператора Л:

то существует резольвента Фредгольма ядра и уравнение (8.23) преобразуется к виду

Данное уравнение, если учесть вид (см. (8.2)), является простейшим, а потому при достаточно малых (см. теорему 7.4 и конец п. 7.7) оно имеет в классе непрерывных функций единственное

решение, и это решение представимо в виде

где положено, что интегро-степенная форма

Так же как в предыдущем пункте, возможные значения входящие в (8.24), определяются путем подстановки и из (8.24) в формулы (8.22). После такой подстановки получим

Преобразуем эту систему уравнений. Во-первых, так как — собственные функции оператора А, то

Подставляя сюда из (8,8) получим

Но в силу ортонормальности имеем

Отсюда и из предыдущего следует, что

Так как — резольвента Фредгольма ядра то из последнего равенства и формулы (8.4) имеем

Во-вторых, введем следующие обозначения:

где — фиксированная непрерывная функция. Тогда система уравнений (8.25) в силу формул (8.26) — (8.29) примет вид

Данная система уравнений также называется уравнением разветвления Ляпунова — Шмидта.

Если в уравнении (8.1) положить

где — фиксированная непрерывная функция, то система (8.31) в силу (8.30) примет вид

Методы исследования системы (8.32) изложены в §§ 5 и 6.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление