Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.4. Одномерный случай ветвления.

Пусть 1 является простым собственным значением оператора (8.3). Рассмотрим тогда ядро где — соответствующие нормированные собственные функции операторов А и А" (см. формулы (8.3) и (8.3)). Подставляя значение из последнего равенства в уравнение (8.1), получим

Полагая

получим

где согласно лемме Шмидта 1 не является собственным значением оператора :

Ввиду этого, если — резольвента Фредгольма ядра то из уравнения (8.12) мы находим

или

где (учитывая (8.2))

Таким образом, в рассматриваемом случае уравнение (8.1) сводится к эквивалентному уравнению (8.13), которое является простейшим. Так как при достаточно малом параметр , заданный формулой (8.11), имеет достаточно малый модуль, то, используя результаты п. 7.7 (см. конец этого пункта и теорему 7.4), мы приходим к следующему выводу. При достаточно малых уравнение (8.13) имеет в классе непрерывных функций единственное решение, и оно представимо в виде

или

Для определения возможных значений нужно подставить данное значение и в формулу (8.11), и тогда получим

Полагая

и учитывая выражение для получим

причем в последней сумме

Преобразуем первое слагаемое правой части последнего равенства:

По

Подставляя сюда значение получим

или

так как

Из (8.4) и (8.18) следует, что

Отсюда и из (8.17) имеем, что так что равенство (8.15) принимает вид

где

Таким образом, возможные значения определяющие решение (8.14) рассматриваемого уравнения (8.1), должны быть найдены из уравнения (8.19), в котором отсутствует слагаемое первой степени относительно Уравнение (8.19) называется уравнением разветвления Ляпунова — Шмидта.

Если в уравнении (8.1) положить

где — заданная фиксированная функция, то уравнение разветвления Ляпунова — Шмидта примет вид

где

Методы исследования уравнения (8.20) изложены в § 2.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление