Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.3. Лемма Шмидта.

Пусть 1 является -кратным собственным значением оператора А (см. формулу (8.3)) — ортонормированные собственные функции оператора А, принадлежащие числу 1. Согласно теории линейных интегральных уравнений 1 будет собственным аначением сопряженного оператора А:

той же кратности, так как ядро непрерывно. Пусть — ортонормированные собственные функции оператора А, принадлежащие числу 1. Рассмотрим теперь оператор

где

(а — сопряженное с а комплексное число).

Для нового оператора А справедлива Лемма Шмидта. Единица не является собственным значением оператора

Доказательство легко проводится от противного. Допустим, что — собственная функция оператора принадлежащая числу 1, т. е.

Подставляя сюда получим

Так как 1 является -кратным собственным значением оператора А, то правая часть последнего равенства должна быть ортогональна всем функциям ,

т. е.

Отсюда в силу ортогональности функций имеем

и равенство (8.9) принимает вид

Данное равенство показывает, что — собственная функция оператора А, а потому

Умножив обе части этого равенства на мы в силу (8.10) получим, что Полученное противоречие доказывает лемму.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление