Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Общее интегральное уравнение Ляпунова—Шмидта

В данном параграфе исследуется нелинейное интегральное уравнение Ляпунова — Шмидта

где

Функции и и ядра К предполагаются непрерывными (комплексозначными или вещественными). Отметим, что более общий случай, когда в левой части равенства (8.1) содержится вместо и где — непрерывная и отличная от нуля функция (а значит, ее модуль ограничен снизу положительным числом), сводится к уравнению (8.1) путем деления на

Рассмотрим в пространстве непрерывных функций линейный ограниченный оператор А:

Будут изучены следующие два случая:

1. Регулярный случай, когда единица не является собственным значением оператора А. В этом случае уравнение (8.1) сводится к уравнению вида (7.10), а значит (см. п. 7.6), при достаточно малом оно имеет в

классе непрерывных функций единственное малое решение и это решение представимо в виде регулярно (или равномерно) сходящегося интегро-степенного ряда.

2. Случай ветвления (когда единица является собственным значением оператора А). Как увидим, в этом случае возможно ветвление нулевого решения уравнения (8.1).

Мы будем говорить об одномерном случае ветвления, если 1 — простое собственное значение оператора А, и о многомерном случае ветвления, если 1 — собственное значение кратности . Как увидим, в первом случае мы получим одномерное уравнение разветвления (см. конец § 1), а во втором случае уравнение разветвления будет состоять из системы уравнений.

8.1. Регулярный случай.

Пусть 1 не является собственным значением оператора А (см. (8.3)).

Тогда для любой непрерывной функции интегральное уравнение

имеет единственное непрерывное решение и оно определяется по формуле

где — резольвента Фредгольма ядра Подставляя сюда вместо правую часть уравнения (8.1), мы получим

Полагая здесь

мы получим, что уравнение (8.1) приводится к виду

Данное уравнение принципиально не отличается от уравнения (7.10), а потому оно, а значит и уравнение (8.1), имеет единственное непрерывное малое решение при достаточно малом (см. пп. 7.5 и 7.6). Это решение представимо в виде равномерно (регулярно) сходящегося интегро-степенного ряда вида (7.11), если правая часть уравнения (8.1) сходится равномерно (регулярно).

Отметим, что для числа , о котором упоминается в теореме 7.4, может быть получена оценка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление