ГЛАВА III. Уравнение разветвления для нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений

§ 7. Интегральные уравнения Ляпунова — Шмидта

7.1. Интегро-степенные ряды от одного функционального аргумента.

Пусть В — ограниченное замкнутое множество конечномерного евклидова пространства и — вещественная или комплекснозначная функция, непрерывная по совокупности аргументов Выражение

где — неотрицательные целые числа и называется интегро-степенным членом степени относительно . Без ограничения общности можно считать, что

Для простоты мы в дальнейшем будем предполагать, что Говорят, что два интегро-степенных члена принадлежат к одному типу, если они отличаются лишь своими ядрами

Число различных типов интегро-степенных членов степени совпадает с числом решений диофантова уравнения

Для интегро-степенных членов степени введем обо значения

Из определения интегро-степенного члена следует, что

Сумма конечного числа интегро-степенных членов степени принадлежащих различным типам, называется интегро-степенной формой степени относительно функции и и обозначается через

Для интегро-степенных форм имеют место равенства (7.1) и (7.2). Отметим некоторые простые свойства интегро-степенных форм. Если то

Пусть — иптегро-степенная форма, в которой все ядра К заменены на Тогда справедливы соотношения

Выражение

называется интегро-степенным рядом.

Интегро-степенной ряд (7.3) называется регулярно сходящимся, если сходится ряд

Разумеется, если для некоторой функции и ряд (7.3) сходится регулярно, то он будет сходиться абсолютно и равномерно, а потому, если и — непрерывная функция, то и сумма ряда (7.3) будет непрерывной функцией от