Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.2. Указатели двумерного случая ветвления.

Нахождение малых решений уравнения (5.4) связано с построением для него убывающего участка диаграммы Ньютона. Иногда достаточно знать вершины где , зтого убывающего участка, так как они позволяют делать выводы о всех возможных расположениях убывающего участка диаграммы. В связи с этим числа называются указателями двумерного уравнения разветвления.

Покажем, что указатели могут быть найдены без построения результанта

Так как кольцо является то с точностью до знака результант представим

(Вандер-Варден [1], стр. 119) и в следующем виде:

где — корни отмеченного многочлена Разумеется, формула (5.10) сохраняется, если предварительно в системе (5.2) положить или Это замечание мы учтем при вычислении .

Полагая в получим

Применяя к первому уравнению данной системы метод диаграммы Ньютона, мы найдем все его малые решения

Подставляя эти значении в результант системы (5.11), записанный в форме (5 10), получим

Обозначим через наименьшую степень, с которой входит в разложение функции Тогда

Аналогично определяется .

Отметим, что если то полагаем

Замечание 5.1. Отметим еще, что если в двумерном случае задано регулярное уравнение разветвления, то указанный прием вычисления указателей и сохраняется без приведения уравнения разветвления к нормальному виду. Действительно, малые решения (5.12) одинаковы у регулярного и соответствующего нормального уравнения, а формулы для подсчета также совпадают. Все это следует из подготовительной теоремы Вейерштрасса.

Рассмотрим следующий Определим для примера, рассмотренного в конце Полагая там получим

где — члены более высокого порядка.

При помощи диаграммы Ньютона (рис. 12) мы для первого уравнения находим так что

Рис. 12.

Подставляя каждое из этих решений во второе уравнение системы (5.15), находим

Отсюда согласно формуле (5.14) имеем Для определения мы полагаем так что

где о — члены более высокого порядка.

Из первого уравнения данной системы мы при помощи диаграммы Ньютона находим, что так что

где

Подставляя каждое из этих решений во второе уравнение системы (5.16), находим

так что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление