Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

37.4. Случай ветвления.

Здесь исследуется случай, когда Для простоты вычислений полагается так как для других исследование проводится аналогично. Исходя из (37.21), напишем

Подставляя данное выражение в (37.19), получим

где

Будем рассматривать систему (37.23) — (37.20), которая согласно лемме Шмидта является регулярной. Эта система (см. п. 10.3) имеет при достаточно малых единственное решение, и оно представимо в виде тройного степенного ряда по Коэффициенты этих рядов находятся обычным способом. Далее, при помощи ряда для Ф (0) мы находим коэффициенты , подставляя их в (37.22), получим в виде двойного степенного ряда по и е. Подставляя найденное значение в ряды для Ф и мы получим решение виде двойных степенных рядов по и .

Подставляя Ф в (37.24), мы получим уравнение разветвления

Производя вычисления, получим

Убывающая часть диаграммы Ньютона состоит из одного отрезка с концами и . Уравнение разветвления имеет три решения, и каждое из них представимо в виде сходящегося ряда по степеням Из этих решений лишь одно вещественное.

Задача, следовательно, имеет единственное непрерывное малое решение

Методом неопределенных коэффициентов находим

Здесь — заданный коэффициент в разложении (37.14). Заметим, что из постановки задачи вытекает отрицательность

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление