Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

37.3. Регулярный случай.

Пусть . Покажем, что в этом случае система (37.19) — (37.20) имеет единственное решение и оно представимо при достаточно малых в виде сходящегося ряда по целым степеням е. Действительно, запишем систему (37.19) — (37.20) в виде

где — ряды относительно и такие, что среди линейных членов отсутствуют члены . Отсюда согласно исследованиям главы III мы приходим к выводам, что данная система имеет единственное решение и оно представимо при достаточно малых в виде двойного степенного ряда по

При помощи этого решения мы найдем коэффициенты как аналитические функции от Заметим, что из (37.11) и (37.13) следует сходимость ряда, входящего в равенство (37.22). Подставляя в (37.22), мы получим аналитическую функцию такую, что Отсюда по теореме 1.2 параметр является аналитической функцией от . Найденное значение мы подставим в полученный двойной степенной ряд и получим решение в виде сходящегося степенного ряда по одному малому параметру е. Это решение может быть, найдено методом неопределенных коэффициентов исходя из системы (37.19) — (37.20). Удобнее, однако, исходить из другой системы, получающейся из данной путем предварительного преобразования уравнения (37.19) при помощи резольвенты Фредгольма ядра Таким путем могут быть найдены первые члены ряда для . Первые три члена этого ряда и ряда для найдены и использованы в работе Я. И. Секерж-Зеньковича [1] для определения профиля волны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление