Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

35.3. Исследование уравнения разветвления.

Нетрудно подсчитать, что результант многочленов равен

Таким образом, приближенное уравнение дискриминантной кривой имеет вид (предполагается, что )

и изображает полукубическую параболу, касающуюся оси .

Эта кривая является приближенной кривой разветвления и делит окрестность на две части: выше кривой существует ровно три вещественных малых решения уравнения разветвления, а ниже кривой существует ровно одно вещественное малое решение уравнения разветвления.

Рис. 18.

Для исследования асимптотики этих решений удобно перейти от двух малых параметров в уравнении (35.7) к одному параметру, принимающему произвольные вещественные значения. Этого можно добиться, введя новые переменные 0 и по формулам

В переменных уравнение (35.7) примет вид

График как функции изображен на рис. 18. Точка является точкой ветвления. Существует три однозначные ветви: ветвь определенная при всех значениях , и ветви определенные при и сливающиеся при .

Определяя из уравнения (35.9) с нужной степенью точности мы затем спомощью формул (35.8) можем найти с той же степенью точности малые решения приближенного уравнения разветвления (35.6), а значит, и малые решения краевой задачи (35.4) — (35.5).

Дадим, например, без обоснования асимптотику при больших значениях , чему соответствует асимптотика соответствующих значений вне малой полоски, окружающей кривую разветвления.

При , и из уравнения (35.9) находим, что

Переходя к старым переменным по формулам (35.8), получим

Точно так же при

Далее, при (см. рис. 18) из (35.9) имеем откуда с помощью формул (35.8) находим

при

Этим же способом можно получить асимптотику решений вблизи кривой разветвления.

Полагая в (35.9)

нетрудно прийти к выводу, что если при то

Следовательно, при

что позволяет дать асимптотику для

при

Можно показать также, что при этом

Заметим, что полученные формулы дают возможность построить также и приближенное решение задачи (35.6). Можно показать, что в первом приближении

Подставляя вместо его асимптотические выражения, найдем асимптотику всех решений задачи (35.6), а значит, и задачи (35.4) — (35.5).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление