Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

33.5 Основной случай задачи о возмущении.

В этом пункте исследуется случай, когда применении к вспомогательному уравнению (33.12) согласно § 24 (см. например, первую из формул это означает, что Поэтому можно воспользоваться результатом по которому если то уравнение (33.12) имеет -значное решение вида

Переходя к переменным , найдем, что в классе уравнение (33.9) имеет -значное особое решение вида

(под понимается определенная однозначная ветвь этой многозначной функции, а именно ее главное значение).

Наконец, в п. 33.3 была установлена связь между длиной -жордановой цепочки и номером первого отличного от нуля коэффициента уравнения разветвления результате мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 33.2. Пусть тогда уравнение (27.1) имеет -значное особое решение, представимое в виде сходящегося ряда

где . В классе это многозначное решение единственно.

Ниже будет показано, что решение (33.3) можно найти с помощью метода неопределенных коэффициентов. При этом удается получить более точную информацию о решении. Из формулы (33.32) следует, что при

Методом неопределенных коэффициентов удается установить, что при к 2

так что

Покажем это. Подставим ряд (33.33) в уравнение (33.9) и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях X, придем к следующей рекуррентной системе для нахождения неопределенных коэффициентов:

Операторные полиномы были введены формулой (33.16), - также некоторые операторные полиномы, точный вид которых не важен для нашей цели.

Лемма 33.4. Пусть жорданова цепочка дефектного элемента оператора В. Тогда

где — произвольные постоянные и многочлены от них, введенные в п. 32.5.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Из первого уравнения системы (33.34) имеем

т. е. формула (33.35) верна при Предположим теперь, что эта формула верна при и докажем ее справедливость при Имеем по определению

Воспользовавшись предположением индукции и меняя затем порядок суммирования, найдем

Произведем замену индекса суммирования, полагая , получим

Воспользуемся леммой 33.2 и определением и найдем, что

Для определения воспользуемся уравнением системы (30.3), которое разрешимо в силу формул (33.15) и последней формулы для Имеем

Мы воспользовались формулой вытекающей из формулы (33.26). Лемма доказана.

Перейдем к вычислению Так как формула (33.36) верна и при (то же самое доказательство), то имеем

Пользуясь формулами (33.15), (33.14) и (33.26), найдем

Следовательно, условие разрешимости уравнения системы (33.34) имеет вид

откуда имеем

Теперь с, полностью определено и при

Так как уравнение системы (33.34) при указанном выборе уже разрешимо, то из этого уравнения находим

где для краткости мы положили

Займемся теперь вычислением Для этого потребуется сначала вычислить

Имеем

Заметим, что второе и третье слагаемые можно снова объединить в сумму, которую затем можно вычислить с помощью леммы 33.2:

Далее, по лемме 33.3

Окончательно имеем

Нетрудно убедиться, что условие разрешимости уравнения системы (33.34) имеет следующий вид:

где — известная величина, зависящая лишь от Это уравнение с помощью формулы (29.7) можно переписать так:

Каждому из значений отвечает единственное значение определяемое уравнением (33.40). Теперь определено и уравнение с номером системы (33.34) разрешимо. Находим из него

Лемма 33.5. Справедлива формула (1 = 2, 3,...)

где зависит лишь от

Доказательство проведем методом математической индукции. При формула (33.42) превращается в доказанную выше формулу (33.35) и, значит, верна. Предположим, что формула (33.42) верна при причем а тем самым и уже определены. Вычислим

(см. скан)

Последние два слагаемых зависят лишь от известных величин. Действительно, третье слагаемое зависит только от уже определенных Рассмотрим четвертое слагаемое. Очевидно, наибольшее число постоянных содержит член с Так как при то Следовательно, Отсюда видно, что зависит от постоянных. Это число максимально при Таким образом, четвертое слагаемое зависит лишь от которые уже определены по предположению индукции.

Преобразуем теперь первые два слагаемых в формуле для

Здесь если если

По лемме 33.3 имеем

зависит самое большее от аргументов, так как также зависит самое большее от аргументов по той же причине. Итак,

где через обозначены известные члены.

Условие разрешимости уравнения системы (30.3) дает

где

По формуле (33.28)

Поэтому указанное выше условие разрешимости имеет вид

Отсюда по однозначно находим а следовательно, определено. Наконец, из уравнения системы (33.34) находим

и лемма 33.5 доказана.

В результате мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 33.3. В условиях теоремы 33.2 существует единственное в классе -значное особое решение уравнения (33.9). Это решение представимо в виде сходящегося ряда (33.33), причем при определении его методом неопределенных коэффициентов у. определяется с запозданием в шагов из условия разрешимости уравнения.

В заключение рассмотрим вещественный случай. Конечно, мы могли бы перефразировать соответствующий результат § 2, однако проще провести исследование непосредственно.

Существуют ли вещественные решения, сколько их и где они определены?

Ответ на эти вопросы дает исследование нелинейного уравнения (33.37) для определения Действительно, если вещественно, то соответствующие ему значения также будут вещественны, так как определяются из линейных уравнений типа (33.40) с вещественными коэффициентами.

Пусть сначала нечетно. Это возможно либо когда четно, либо когда к нечетно. Уравнение (33.37) в этом случае имеет единственное вещественное решение. Пусть четно. Это возможно в том и только в том случае, когда одновременно к четно и нечетно. Уравнение (33.37) имеет в этом случае два вещественных

решения, если Для рассмотрения случая заменим X на —X в уравнении (33.9), что приведет к замене на и снова уравнение (33.37) будет иметь два вещественных решения, если Теперь можно сформулировать окончательный результат.

Теорема 33.4. Если в условиях теоремы 33.2 имеет место вещественный случай, то

1) если четно или к нечетно, то уравнение (33.9) имеет в классе ровно одно решение, определенное в некоторой окрестности точки исключая точку

2) если нечетно, а к четно, то уравнение (33.9) имеет в классе ровно два решения, определенных в той полуокрестности точки исключая точку в которой Хару Все эти решения особые, представимы сходящимися рядами вида (33.33), и их можно определить методом неопределенных коэффициентов.

Случай будет рассмотрен в следующем пункте, причем для простоты мы предположим, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление