Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

33.2. Задача о возмущении линейного уравнения малым нелинейным слагаемым.

Рассмотрим уравнение

Здесь неизвестное, разыскиваемое в элементы из — фредгольмовский оператор, при к суть -степенные операторы из — линейный оператор). Кроме того, предположим, что банаховы пространства комплексные и к — малый комплексный параметр, . Введем — класс абстрактных, вообще говоря, многозначных функций определенных и непрерывных каждая в своей окрестности точки (быть может, исключая самое точку и имеющих при к порядок роста

Сделаем в уравнении (26.9) замену переменных

Замену можно считать взаимнооднозначной, так как обратный переход можно осуществить по формулам

где под в случае мы будем понимать главное значение этой функции. После замены (33.10) уравнение (33.9) переходит в уравнение

а задача разыскания решений уравнения (26.9) класса переходит в эквивалентную ей задачу разыскания малых решений уравнения (33.12).

Эта последняя задача является частным случаем общей задачи теории ветвления, изученной выше. Могут представиться различные случаи в зависимости от величины — числа нулей оператора В. Если то согласно теореме о неявных операторах 22.2 уравнение (33.12) имеет единственное малое решение и решение представимо в окрестности точки сходящимся рядом

Следовательно, существует единственное решение класса

Если то задача сводится к уравнению разветвления (24.2), причем возможны два случая: вырожденный, когда все коэффициенты уравнения разветвления равны нулю, и невырожденный, когда хотя бы один коэффициент уравнения разветвления отличен от нуля.

В вырожденном случае существует однопараметрическое семейство малых решений зависящее от произвольного малого параметра .

Следовательно, в классе уравнение (33.9) также имеет однопараметрическое семейство малых решений.

В невырожденном случае уравнение (33.12) может иметь не более конечного числа малых решений, причем каждое из них представимо в окрестности точки сходящимся рядом по дробным (или целым) степеням Возвращаясь к переменным у и мы видим, что уравнение (33.9) в этом случае имеет также не более конечного числа решений класса причем все решения представимы в окрестности точки (возможно, исключая ) рядами (типа Лорана) по дробным степеням параметра

Здесь мы рассматриваем лишь случай для которого получаются более законченные результаты. Случай изучен в работе П. Г. Айзенгендлера [2].

В следующих двух пунктах приведем необходимые для дальнейшего результаты. Нашей целью является применение для исследования уравнения (33.9) метода неопределенных коэффициентов. И здесь важную роль играют понятие жордановой цепочки в нелинейном случае, а также свойства некоторых вспомогательных полиномов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление