Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Некоторые вопросы теории делимости

Для изучения многомерного случая ветвления мы в данном параграфе рассмотрим кольцо многочленов над произвольной областью с однозначным разложением на множители и построим алгоритм для нахождения общего наибольшего делителя многочленов из упомянутого кольца. При этом мы будем придерживаться терминологии монографий Зарисского, Самюэля [1, 2] и Бохнера и Мартина [1].

4.1. Кольцо степенных рядов.

Пусть — комплексные переменные, — комплексные числа и — неотрицательные целые числа.

Рассмотрим семейство функций

аналитических в начале координат. Будем предполагать, что каждая функция этого семейства имеет свою окрестность сходимости.

Относительно обычных действий сложения и умножения рассматриваемое семейство функций образует коммутативное кольцо над полем комплексных чисел К, которое обозначается так: Нуль и единица этого кольца совпадают с обычными 0 и 1. Пусть — два элемента кольца

Так как равенство возможно лишь тогда, когда хотя бы один из сомножителей или равен нулю, то рассматриваемое кольцо не имеет собственных делителей нуля. Легко видеть, что делителями единицы, т. е. обратимыми элементами при умножении, будут лишь такие функции для которых т. е. для которых

Таким образом, кольцо коммутативно, содержит единицу и не содержит собственных делителей нуля, т. е. является областью целостности.

Любой элемент кольца можно разложить в ряд по степеням любого переменного причем коэффициенты будут аналитическими функциями в начале координат от других переменных. В частности, если положить то для всякой функции имеем

где . В этом случае говорят о кольце степенных рядов от одного переменного над кольцом ипишут или Ясно, изоморфно

Псевдомногочлены от многочлены от с коэффициентами из кольца образуют подкольцо кольца

Это подкольцо многочленов обозначается через или

Для дальнейшего мы приведем некоторые понятия. Пусть — коммутативное кольцо с единицей.

Определение 4.1. Отличные от нуля элементы называют ассоциированными (и пишут кратко ), если , где с — обратимый элемент из

Согласно этому определению, если то запись означает, что

Запись означает, что делит а (а делится на ), т. е. существует элемент с такой, что

Если — обратимый элемент кольца то он делит любой элемент так как . В связи с этим элемент называется несобственным делителем элемента а, если он обратим и ассоциирован с а.

Определение 4.2. Если где с причем — необратимые элементы, то элейент а называется разложимым (приводимым) в кольце Если элемент а нельзя представить указанным образом, то он называется неразложимым (неприводимым) в

Определение 4.3. Область целостности называется областью с однозначным разложением на множители (или кратко если она удовлетворяет условиям: 1) каждый необратимый элемент а кольца является произведением конечного числа неразложимых делителей; 2) если где и неразложимы, то и после надлежащей перенумерации выполняются соотношения

Простейшим примером областей с однозначным разложением может служить кольцо целых чисел.

Имеют место следующие предложения (см. Зарисский, Самюэль [2], стр. 177, теорема 6 и [1], стр. 45, теорема 10).

Теорема 4.1. Кольцо степенных рядов

1 и кольцо псевдомногочленов являются областями с однозначным разложением.

В области с однозначным разложением любая пара элементов имеет общий наибольший делитель (кратко ОНД), т. е. элемент который делит причем если элемент с делит то с делит Если является

ОНД элементов то будем писать

ОНД определяется однозначно с точностью до произвольного обратимого множителя. Если то элементы называются взаимно простыми. Для отмеченных многочленов справедливо предложение.

Теорема 4.1. ОНД двух отмеченных многочленов есть отмеченный многочлен. Доказательство. Пусть

является ОНД многочленов

и

Так как — делитель многочлена то в кольце найдется многочлен

такой, что

Отсюда путем сравнения коэффициентов находим

т. е. что — обратимые элементы кольца Так как ОНД определяется с точностью до обратимых сомножителей, то можно считать, что

и

где

Отсюда согласно теореме 3.2 мы приходим к утверждению теоремы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление