Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

30.2. А-жордановы цепочки и наборы при n > 1.

Пусть — базис в Будем говорить, что элемент имеет А-жорданову цепочку длины если существует элементов удовлетворяющих соотношениям

причем не все числа равны нулю.

А-жорданова цепочка элемента определяется неоднозначно, причем при Пусть — базис в Построим А-жордановы цепочки элементов этого базиса:

Элемент назовем А-присоединенным к элементом порядка. Совокупность нулей оператора В и всевозможных А-присоединенных к ним элементов назовем А-жордановым набором. А-жорданов набор назовем полным, если

Покажем, что в случае полного А-жорданова набора можно без ограничения общности предполагать выполненными следующие равенства:

В самом деле, перейдем от функционалов к следующим их линейным комбинациям:

где элементы матрицы, обратной к матрице удовлетворяющей условию (30.13). Тогда

Если то вследствие (30.12). Если же , то по определению обратной матрицы. Таким образом, функционалы можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства (30.14), что мы и предполагаем ниже. Формула (30.13) теперь примет вид

Согласно следствию из теоремы Хана — Банаха в найдутся функционалы образующие систему, биортогональную к Эти функционалы порождают разложение (см. п.21.2). А-жорданов набор мы будем всегда считать выбранным так, чтобы входящие в него -присоединенные элементы лежали в т. е. чтобы

пробегает те значения, при которых Это возможно осуществить вследствие справедливости замечания 21.3.

Действительно, положим

Оператор имеет по лемме 21.1 ограниченный обратный

Имеют место формулы

Основываясь на этих формулах, докажем линейную независимость элементов полного А-жорданова набора. Как и выше, поведем доказательство от противного. Допустим, что существуют числа не все равные нулю и такие, что выполняется равенство

К этому равенству применим сначала оператор А, а затем функционалы согласно формулам (30.14) получим, что Теперь равенство (30.19) принимает следующий вид:

причем знак суммы означает, что суммирование ведется лишь по тем для которых Если к последнему равенству применить оператор то на основании формул (30.17) мы получим

Применяя к этому равенству оператор А, а затем функционалы получим, как и выше, что

Эти рассуждения приводят к утверждению.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление