Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА II. Исследование уравнения разветвления в многомерном случае

§ 3. Преобразование уравнения разветвления

Для изучения многомерного случая ветвления, т. е. когда в системе мы здесь заменим уравнение разветвления более простым (эквивалентным относительно малых решений) уравнением.

3.1. Приведение к регулярному виду.

Рассмотрим систему комплексных функций, аналитических в начале координат:

где — формы степени причем

и

Запишем формы в обычном виде:

где

Определение 3.1. Система (3.1) называется правильной (или регулярной) относительно если для всякого выполняется неравенство

Аналогично вводится понятие правильной системы относительно других Если система (3.1) не является правильной относительно некоторого путем неособого линейного преобразования ее можно привести к правильной относительно

Докажем это. Рассмотрим линейное преобразование переменных

Подставляя из (3.2) в (3.1) и учитывая выражения для получим

где

Рассмотрим в -мерном комплексном пространстве систему гиперповерхностей

Так как согласно условию 0, то при всяком не все коэффициенты равны нулю, т. е. ни одна из гиперповерхностей не заполняет все пространство а потому найдется точка с ненулевыми координации которая не лежит ни на одной из рассматриваемых гиперповерхностей. Если теперь положим

то, как видно из (3.3), для всех будет

т. е. преобразованная система является регулярной (правильной).

Полагая, далее, при

мы находим, что определитель матрицы преобразования (3.2) отличен от нуля. Этим доказана

Теорема 3.1. Существует неособое линейное преобразование переменных приводящее систему функций (3.1) к регулярному виду.

В дальнейшем мы воспользуемся этой теоремой для приведения системы (1.11) к регулярному виду. При этом мы будем предполагать, что

Для простоты допустим, что Без ограничения общности можно считать, что где так как в противном случае в системе (1.11) мы произведем сокращение на наивысшую допустимую степень параметра X.

Рассмотрим пример. Пусть

где Данная система не является правильной. Приведем ее к регулярному виду.

Преобразование (3.2) принимает вид

Так как в этом примере то для нахождения достаточно подставить в члены второй степени относительно

Получим

Отсюда видно, что если мы положим то преобразованная система будет правильной. Полагая еще мы получим, что

Подставляя эти значения и сокращая затем первое уравнение на 3, а второе на —2, получим

где Данный пример мы используем при изучении нелинейных интегральных уравнений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление