Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.7. Некоторые частные случаи расположения диаграммы Ньютона.

Здесь мы рассмотрим простейшие частные случаи уравнения разветвления. Так как нас интересуют лишь малые решения уравнения разветвления, то мы будем рассматривать только убывающую часть диаграммы, определяющую положительные е. Ввиду этого в данном пункте мы всюду в дальнейшем под диаграммой Ньютона будем понимать убывающий участок диаграммы, а под решениями уравнения разветвления — малые решения, т. е. непрерывные решения , удовлетворяющие условию а также решения, равные нулю тождественно.

Переходим к разбору частных случаев.

I. Пусть так что уравнение (2.1) имеет не более двух малых решений. В этом случае убывающая часть диаграммы Ньютона может состоять не более чем из двух отрезков, так что возможны лишь следующие пять случаев (рис. 8). Этим пяти случаям отвечают всевозможные предположения относительно коэффициентов уравнения (2.1).

Рис. 8.

Перейдем к изучению каждого из этих пяти случаев.

I. 1. В случае а) имеем так что интересующая нас часть диаграммы отсутствует, а потому уравнение (2.1) не имеет относительно малых решений, отличных от тождественного нуля. является двухкратным корнем уравнения (2.1).

I. 2. В случае б) , так что единственному отрезку интересующей нас части диаграммы отвечает значение а потому уравнение (2.1) имеет решение вида

а также решение

Для определения имеем уравнение

у которого два простых корня: нулевой, которому соответствует решение и ненулевой

В данном случае, следовательно, уравнение (2.1) имеет единственное малое нетривиальное решение, которое в силу (2.19) разлагается в ряд

причем а. можно определить методом неопределенных коэффициентов.

I.3. В случае в) где Е — целая часть числа так что единственному отрезку рассматриваемой части диаграммы отвечает значение а потому уравнение разветвления имеет решения вида

— решение уравнения

т. е.

Так как корни квадратного уравнения простые, то в силу (2.19) имеем

при нечетном и

при четном к, причем можно определить методом неопределенных коэффициентов. Если интересоваться вещественными решениями уравнения разветвления, когда коэффициенты уравнения (2.1) веществены, то нужно еще выяснить вопрос о вещественности корней

В данном случае (см. п. 2.6) имеем следующее. Если четно, то при уравнение разветвления

не имеет вещественных решений, а при оно имеет в некоторой окрестности два нетривиальных решения. Если нечетно, то в силу (2.24) уравнение разветвления имеет два нетривиальных решения для при и два нетривиальных решения, определенные для при

I, 4. В случае г) , так что

где — решение уравнения

т. е.

Если , то уравнение разветвления имеет в комплексном случае два решения

Если то, как мы видели раньше, нужно положить в уравнении (2.1)

и продолжить исследование для

Если вещественны, то для существования вещественных решений нужно, чтобы причем если , то в силу (2.24) имеется два решения вида (2.26), определенные в некоторой окрестности а при нужно воспользоваться подстановкой (2.27) и продолжить исследования, ибо первые члены двух решений совпадают.

I, 5. В случае д) причем Для имеем два значения Следовательно,

где соответственно определяются из уравнений

Так как данные уравнения имеют простые корни, то в силу (2.19) имеем следующие решения:

Подобные исследования можно провести и в случае Следует, однако, отметить, что уже в случае получается 12 различных расположений интересующей нас части диаграммы Ньютона. Ввиду этого, когда , мы рассмотрим лишь случаи, когда , причем во втором случае мы сделаем различные предположения о

II. Пусть (см. А. Э. Стапан [1]).

Рис. 9.

В данном случае, как видно из диаграммы (рис. 9), и так как проекция диаграммы на ось равна то в комплексном случае имеем решений вида

где суть корни уравнения

Так как данное уравнение имеет простые корни, то согласно (2.19) уравнение разветвления имеет решения

В вещественном случае (см. предыдущий пункт), если четное число, имеем два вещественных решения, определенных при . Если нечетное число, то уравнение разветвления имеет лишь одно вещественное решение, определенное в некоторой окрестности нуля.

Рис. 10.

III. Пусть где целая часть числа I. В данном случае (рис. 10) мы из диаграммы находим два положительных значения для

так что

где соответственно определяются из уравнений

причем второе уравнение можно записать так:

Так как оба эти уравнения имеют простые корни, то согласно (2.19) в комплексном случае уравнения разветвления имеют решения

и

т. е. т. решений. В вещественном случае, рассуждая, как в случае II, мы приходим к следующему выводу. Если

четные числа, то уравнение разветвления имеет четыре вещественных решения, каждое из которых определено в некоторой полуокрестности нуля. Если нечетные числа или четно и нечетно, то имеется три вещественных решения, из которых одно определено в некоторой окрестности нуля, а два — в полуокрестностях нуля. Если нечетное число, четное число, то имеется два вещественных решения, каждое из которых определено в некоторой окрестности нуля. Отсюда, если мы получаем случай, рассмотренный в работе Бартла [1].

IV. Пусть при . В данном случае убывающая часть диаграммы состоит из отрезка С концами (0,2) и (то, 0), на котором нет других нанесенных точек. Отсюда следует, что

где — корни уравнения

Так как данное уравнение имеет простые корни, то согласно (2.19) уравнение разветвления имеет при нечетном решения

а при четном оно имеет решения вида

В вещественном случае (см. п. 2.6) при четном имеем два вещественных решения, определенных при для при для При нечетном уравнение разветвления имеет лишь одно вещественное решение, определенное в некоторой окрестности нуля.

V. Пусть при . В данном случае убывающая часть диаграммы состоит лишь из отрезка с концами и причем нанесенная точка этого отрезка. Отсюда следует, что

где — корни уравнения

т. е.

Если

то уравнение разветвления имеет в комплексном случае решения

При нужны дополнительные исследования (ср. преобразование (2.27)), которые мы приведем в случай 12.2.5.

В вещественном случае при и нечетном к имеется два вещественных решения, и они определены в некоторой окрестности При четном к имеется два вещественных решения, если только одно из чисел положительно; четыре решения, если оба числа положительны; ни одного решения, если При вещественных решений нет. Вопрос о вещественных решениях при также требует дополнительного исследования. В соответствии с тем, что было указано в начале мы в заключение данного пункта отметим следующее. Если для всех к коэффициенты то уравнение (2.1) после сокращения на

, принимает вид

Следовательно, если в данном случае то уравнение (2.1) не имеет малых решений. Если , то по теореме 1.2 о неявных функциях (2.1) имеет единственное малое решение представимое в виде ряда но целым степеням X. Далее, если и не все то мы снова получаем уравнение, подобное уравнению (2.1), к которому применимы предыдущие рассуждения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление