Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

24.8. Случай двух числовых параметров.

В ряде прикладных задач представляет значительный интерес рассмотрение уравнения (24.15), когда и все операторы, входящие в (24.15), вещественны, причем Е есть прямая сумма двух числовых осей. Иначе говоря, , где и К — малые вещественные параметры. Хотя, конечно, и в этом случае можно воспользоваться рассуждениями предыдущего пункта, рассматриваемая задача имеет также и свою специфику.

То обстоятельство, что у — двумерный вектор, позволяет получить более точную информацию о поведении решений уравнения как функций двух переменных, не ограничиваясь изучением их поведения на прямолинейных лучах, исходящих из точки . С другой стороны, задача усложняется тем, что ищутся лишь вещественные решения, которые, естественно, оказываются определенными не во всей окрестности точки .

Уравнение (24.15) в рассматриваемом случае можно записать так:

Предполагая, как и всюду в этом параграфе, что В — фредгольмовский оператор с числом нулей мы можем задачу об отыскании малых уравнений (24.24) заменить эквивалентной ей задачей об отыскании малых решений уравнения разветвления (23.23), которое теперь принимает вид

Ограничимся случаем, когда не все коэффициенты нули. В частности, если не все нули и первый из них отличный от нуля, то (в комплексном случае) задача имеет к малых решений.

Пусть — решение уравнения (24.25) в точке Это решение, согласно теореме о неявных функциях, локально продолжаемо по единственным образом, если

Таким образом, для того чтобы точка была точкой ветвления решения уравнения (24.25), необходимо, чтобы

В результате исключения из уравнений (24.25) — (24.26) мы получим в окрестности точки плоскости дискриминантную кривую, которая может состоять

из нескольких ветвей, проходящих через начало координат

Назовем кривой разветвления малых решений уравнения (24.25) совокупность тех ветвей дискриминантной кривой, при переходе через которые действительно меняется число малых решений уравнения (24.25).

Из этого определения вытекает, что окрестность точки (0,0) разбивается кривой разветвления на несколько частей, в каждой из которых число малых решений уравнения разветвления (24.25) постоянно.

Для нахождения дискриминантной кривой можно поступить следующим образом: с помощью подготовительной теоремы Вейерштрасса (см. теорему 3.3) задачу отыскания малых решений уравнения (24.25) можно заменить эквивалентной задачей разыскания малых решений уравнения

где — отмеченный многочлен по 1 некоторой степени к, причем ( в некоторой окрестности точки Составим результант (см. п. 4.2) многочленов Уравнение и есть уравнение дискриминантной кривой.

Приведенными здесь соображениями мы воспользуемся в дальнейшем (гл. VIII, примеры 3 и 4) при исследовании некоторых прикладных задач. Точно так же можно рассмотреть и случай, когда есть -мерный вектор. Вместо кривой разветвления здесь естественным образом возникают поверхности разветвления различных размерностей (меньших ), при переходе через которые либо рождается четное число новых решений, либо некоторые пары решений исчезают, превращаясь в комплексные.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление