Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

24.5 Вещественный случай.

В приложениях обычно встречается случай, когда банаховы пространства вещественны, Е — числовая ось. При атом представляют интерес также только вещественные решения задачи. Расширим пространства естественным образом до комплексных пространств и предположим, что оператор можно аналитически продолжить в окрестность точки в расширении Задача сведена к уже рассмотренной задаче, и можно воспользоваться всеми полученными выводами. Остается из полученных решений отобрать те, которые лежат в вещественном банаховом пространстве при вещественных значениях X. При атом следует обратить внимание также на область определения этих решений, которая может заполнять как окрестность, так и полуокрестность точки

Проиллюстрируем сделанные замечания, предполагая, что аналитически продолжим указанным выше образом.

Следствие 24.5. Пусть выполнены условия следствия 24.1. Если к нечетно, то при всех достаточно малых уравнение (24.1) имеет ровно одно малое решение вида (24.10). Если же к четно, то в той полуокрестности, где , уравнение (24.1) имеет ровно два малых решения вида (24.10), а в полуокрестности, где уравнение (24.1) малых решений не имеет.

В самом деле, чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, нужно лишь, в дополнение к доказательству следствия 24.1, заметить, что определяется из уравнений

Совершенно так же из следствия 24.2 вытекает в вещественном случае

Следствие 24.6. Пусть выполнены условия следствия 24.2, тогда для уравнения (24.3) справедливо следующее:

1) если к и I нечетны, то в той полуокрестности, где , существует ровно одно малое решение, причем вида (24.11), а в полуокрестности, в которой

существует ровно три, малых решения два — вида (24.12) и одно — вида (24-11);

2) если к четно I нечетно, то в окрестности точки исключая существует ровно два малых решения: одно — вида и одно — вида (24.12);

3) если к нечетно, I четно, то в той полуокрестности, где существует ровно одно малое решение, причем вида (24.12), а в полуокрестности, где существует ровно три малых решения: одно — вида (24.12) и два — вида (24.11);

4) если четны и то в полуокрестности, где малых решений нет, а в полуокрестности, где существует ровно четыре малых решения: два — вида (24.11) и два — вида (24.12); если же то в окрестности точки (исключая существует ровно два малых решения: в полуокрестности, в которой оба вида (24.12), а в полуокрестности, где оба вида (24.11).

Доказательство этих утверждений следует из п. 2.6. Укажем, что при определении главных членов решений уравнения разветвления (24.11), которые обозначим через равно либо либо методом диаграммы Ньютона получаются уравнения:

и

Заметим в заключение, что аналогичные выводы нетрудно сделать также в условиях следствий 24.3 и 21.4, да и вообще в каждом конкретном случае применения диаграммы Ньютона 24.6.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление