Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

23.2. Вывод уравнения разветвления с помощью сужения оператора B.

Пусть оператор непрерывно дифференцируем в , причем оператор

есть фредгольмовский оператор. Случай, когда В не имеет нулей, исследован в § 22, и согласно п. 21.2 и 21.3 в этом случае оператор существует и ограничен.

Пусть теперь где — число нулей оператора В. Запишем уравнение (23.3) в следующем виде:

где

Заменим, пользуясь прямыми разложениями банаховых пространств , уравнение (23.6) системой двух уравнений с двумя неизвестными. Положим

где

и спроектируем уравнение (23.6) на и на . В результате получим следующую систему, эквивалентную уравнению (23.6):

где В — сужение оператора В на проектор, определенный формулой (21.12).

Учитывая второе уравнение, систему можно немного упростить:

Исключим из этой системы и. Будем считать параметром (введя норму, например, так:

Для уравнения (23.10) выполнены все условия теоремы 22 1 о неявных операторах. Действительно, формулы (23.7) вытекает, что непрерывен при всех достаточно малых также непрерывен. Кроме того, существует и ограничен. Поэтому в достаточно малой окрестности точки существует единственное решение

уравнения (23.10), непрерывное и такое, что

Подставим (23.12) в (23.11) и получим уравнение для определения V.

Это уравнение принято называть уравнением Ляпунова — Шмидта. Его можно записать в виде системы числовых уравнений с числовыми неизвестными. В самом деле,

всякий элемент ее однозначно представим в виде (см. (21.15))

Поэтому

и, вспоминая (21.12) и пользуясь линейной независимостью мы можем уравнение Ляпунова — Шмидта записать так:

Функции являются непрерывными при всех достаточно малых причем

Кроме того, эти функции при этих же значениях своих аргументов непрерывно дифференцируемы по Действительно,

Но из формулы (23.7) имеем

откуда

Поэтому

Из формулы (23.17) следует, что система (23.15) имеет матрицу Якоби, тождественно равную нулю. Это обстоятельство,

как мы убедимся ниже, приводит к тому, что уравнение разветвления имеет, вообще говоря, не единственное решение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление