Главная > Математика > Теория ветвления решений нелинейных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5. Случай кратных корней определяющего уравнения.

Пусть — кратный корень определяющего уравнения (2.18), так что и теорема 1.2 неприменима. В этом случае соответствующие ряды (2.4) имеют одинаковые первые члены, а потому для определения следующих членов разложения (2.4) нужно будет последовательно пользоваться представлениями вида (2.5). Для того чтобы иметь дело с целыми показателями, мы преобразуем уравнение (2.1) не при помощи (2.5), а следующей подстановкой:

и при помощи диаграммы Ньютона определим разложение в окрестности точки как это было сделано в при определении V.

Повторяя рассуждения предыдущего пункта, получим

При этом согласно замечанию кратности корней соответствующих определяющих уравнений не возрастают. Ввиду этого либо при некотором окажется, что — простой корень соответствующего определяющего уравнения, либо будут корнями одной и той же кратности соответствующих определяющих уравнений, а будут корнями соответствующих уравнений, кратности которых не меньше

В первом случае мы из (2.20) получим

а во втором случае будет -кратным малым решением как уравнения (2.1), так и уравнения (2.14). В данном случае мы представим левую часть уравнения (2.14), т. е. отмеченный многочлен в виде произведения степеней неприводимых отмеченных многочленов (см. определение 3.2 и теорему 3.2).

Именно, напишем, что

где — неприводимые отмеченные многочлены.

Рассмотрим теперь все те многочлены , которые входят в правую часть равенства (2.22) с одинаковыми степенями. Пусть, например, Положим тогда

Разумеется, принимает какие-то значения из ряда натуральных чисел. При помощи многочленов равенство (2.22) принимает вид

Эту запись нужно понимать так, что если среди чисел нет числа то т. е. в правой части (2.23) нет тогда сомножителя . Равенство (2.23) показывает, что если является -кратным решением уравнения то — простое решение уравнения

Применяя к данному уравнению (2.23) предыдущие рассуждения, мы при помощи диаграммы Ньютона получим для представление в виде сходящегося ряда (2.21).

Таким образом, и в случае кратных корней определяющего уравнения нами доказаны утверждения 2.2 и 2.3.

Отметим еще, что многочлены, входящие в равенство (2.22), а значит и многочлены , входящие в равенство (2.23), могут быть найдены при помощи алгоритма, изложенного в § 4.

Замечание 2.2. Отметим, что рассуждения, содержащиеся в данном и предыдущем пунктах, приводят

к другому доказательству утверждения теоремы 2.1 для уравнения (2.1).

Пусть — корень уравнения (2.18), кратность которого , так что первый член разложения (2.4) будет и (2.5) примет вид

Учитывая замену получим

и, полагая будем иметь

Подставляя данное выражение в (2.17), точнее, в выражение для получим

или

Применяя к данному уравнению диаграмму Ньютона, получим

Отсюда и из предыдущего имеем

так что

Продолжая данный процесс, мы и получим разложение по возрастающим степеням К (ибо ).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление