Теория ветвления решений нелинейных уравнений

  

Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. — 527 с.

Книга посвящена актуальным вопросам теории нелинейных уравнений с аналитическими операторами, зависящими от числового или функционального параметра. В ней излагаются методы отыскания всех решений нелинейного уравнения, ответвляющихся от известного решения этого уравнения при изменении параметра. Такие математические задачи возникают при изучении различных вопросов механики и современной техники.

Методы, изложенные в книге, тесно связаны с давно известным в механике методом малого параметра, причем в наиболее важных для приложений случаях доказывается и сходимость этого метода.

Значительная часть книги посвящена вопросам, не излагавшимся до сих пор в монографиях.



Оглавление

Предисловие
Введение
ГЛАВА I. Системы неявных функций и классическая теория ветвления
§ 1. Задача о неявных функциях
1.2. Общее исследование задачи о неявных функциях.
1.3. Аналитический случай.
§ 2. Одномерный сличай ветвления и диаграмма Ньютона
2.2. О свойствах решений.
2.3. Примеры.
2.4. Исследование уравнения разветвления. Случай простых корней определяющего уравнения.
2.5. Случай кратных корней определяющего уравнения.
2.6. О вещественных решениях.
2.7. Некоторые частные случаи расположения диаграммы Ньютона.
ГЛАВА II. Исследование уравнения разветвления в многомерном случае
3.2. Приведение к нормальному виду.
§ 4. Некоторые вопросы теории делимости
4.2. Общий делитель и аналог алгоритма Евклида.
4.3. Примитивный ОНД.
4.4. Применение к отмеченным многочленам.
§ 5. Двумерный случай ветвления
5.2. Указатели двумерного случая ветвления.
5.3. Частные случаи.
§ 6. Многомерный случай ветвления
6.2. Малые решения уравнения разветвления и метод исключения неизвестных.
6.3. Квазирегулярный случай ветвления.
6.4. Вырожденный случай ветвления.
6.5. Об изолированности нулевого решения.
ГЛАВА III. Уравнение разветвления для нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений
§ 7. Интегральные уравнения Ляпунова — Шмидта
7.2. Интегро-степенные ряды от многих функциональных аргументов.
7.3. Интегро-степенные ряды от интегро-степенных рядов.
7.4. Сжатость оператора Ляпунова—Шмидта.
7.5. Простейшее уравнение.
7.6. Последовательные приближения Лихтенштейна.
7.7. Применение метода мажорант.
7.8. Простейшее уравнение в случае равномерной сходимости.
§ 8. Общее интегральное уравнение Ляпунова—Шмидта
8.2. Регулярный случай при наличии многих аргументов.
8.3. Лемма Шмидта.
8.4. Одномерный случай ветвления.
8.5. Многомерный случай ветвления.
8.6. Возможные обобщения.
§ 9. Системы уравнений Ляпунова—Шмидта и некоторые интегро-дифференциальные уравнения
9.2. Регулярный случай.
9.3. Случай ветвления.
9.4. Некоторые нелинейные интегро-дифференциальные уравнения первого порядка.
9.5. Другие виды интегро-дифференциальных уравнений.
9.6. Другой способ построения уравнения разветвления
ГЛАВА IV. Общее интегральное уравнение и коэффициенты уравнения разветвления
10.2. Регулярный случай.
10.3. Одномерный случай ветвления.
10.4. Многомерный случай ветвления.
10.5 Частный случай.
10.6. Уравнение Гаммерштейна.
§ 11. Коэффициенты уравнения разветвления
11.2. Коэффициенты одиомерного уравнения разветвления нелинейного интегрального уравнения Гаммерштейна.
11.3. Коэффициенты двумерного уравнения разветвления общего нелинейного интегрального уравнения.
11.4. Коэффициенты двумерного уравнения разветвления для частных случаев.
11.5. Некоторые свойства коэффициентов уравнения разветвления.
ГЛАВА V. Описание и построение решений нелинейных интегральных уравнений
§ 12. Описание решений нелинейных интегральных уравнений
12.2. Описание решении в одномерном случае ветвления.
12.3. О точках бифуркации в одномерном случае ветвления.
12.4. Описание решений в двумерном случае ветвления.
12.5. Описание решений в многомерном случае ветвления.
12.6. О ветвлении изолированного решения.
12.7. Точки бифуркации в многомерном случае ветвления.
§ 13. Построение решений нелинейных интегральных уравнений
13.3. Двумерный случай ветвления.
13.4. Уравнение Некрасова.
13.5. Уравнение разветвления для уравнения Некрасова.
§ 14. Особые решения нелинейных интегральных уравнений
14.2. Сведение к малым решениям.
14.3. Особые решения в регулярном случае.
14.4. Исследование вспомогательного уравнения.
14.5. Ветвление решений основного уравнения.
14.6 Особые решения в пространствах Лебега.
ГЛАВА VI. Ветвление периодических решений дифференциальных уравнений
§ 15. Периодические решения неавтономных систем
15.2. Метод Пуанкаре.
15.3. Условия периодичности и уравненне разветвления.
15.4. Описание решений в регулярном случае.
15.5. Описание решений в одномерном случае ветвления.
15.6. Описание решений в многомерном случае ветвления.
§ 16. Периодические решения квазилинейных систем
16.2. Условия периодичности.
16.3. Вывод уравнения разветвления.
16.4. Описание решений и дополнительные замечания.
§ 17. Периодические решения автономных систем
17.2. Уравнение разветвления.
17.3. Основные выводы.
17.4. Метод неопределенных коэффициентов.
17.5. Автономные системы с одной степенью свободы.
§ 18. Примеры
18.1. Неавтономные системы с одной степенью свободы.
18.2 Автономные системы с одной степенью свободы.
§ 19. Другие задачи о периодических решениях
19.1. Особые периодические решения неавтономных систем.
19.2. Ветвление периодических решений в банаховых пространствах
§ 20. Об устойчивости периодических решений, зависящих от малого параметра
20.2. Устойчивость решений задачи Пуанкаре.
ГЛАВА VII. Нелинейные уравнения в банаховых пространствах
§ 21. Некоторые вопросы теории линейных операторов в банаховых пространствах
21.2. Специальные разложения пространств в прямые суммы подпространств.
21.3. Сужение оператора и обобщенная лемма Шмидта.
21.4 Связь с сопряженным оператором.
21.5. Неограниченные фредгольмовские операторы.
§ 22. Степенные операторы, ряды Тейлора, теоремы о неявных операторах
22.2 Степенные ряды. Ряды Тейлора.
22.3 Теоремы о неявных операторах.
§ 23. Уравнение разветвления Ляпунова — Шмидта
23.2. Вывод уравнения разветвления с помощью сужения оператора B.
23.3. Вывод уравнения разветвления с помощью леммы Шмидта.
23.4. Основная теорема об уравнении разветвления.
23.5. Уравление разветвления в аналитическом случае.
23.6. Уравнение разветвления для неограниченных операторов.
§ 24. Исследование одномерного случая ветвления
24.2. Вырожденный случай.
24.3. Квазирегулярный случай (задача А).
24.4. Задача Б (невырожденный случай).
24.5 Вещественный случай.
24.6. О ветвлении решений уравнений о достаточно гладкими операторами.
24.7 Случай функционального параметра. Ряды по однородным операторам.
24.8. Случай двух числовых параметров.
§ 25. Многомерный случай ветвления
25.2. Коэффициенты двумерного уравнения разветвления.
25.3. Двумерный случай ветвления.
25.4 Общий случай.
25.5. О ветвлении изолированного решения.
25.6. О точках бифуркации.
ГЛАВА VIII. Ветвление решений нелинейных уравнений в сингулярном случае
26.2. Разложение пространств в прямые суммы подпространств.
26.3. Теорема Аткинсона.
23.4. О нетеровских неограниченных операторах.
§ 27. Теоремы о ветвлении решений
27.2. Случай n > 0, m = 0.
27.3. Случай n = 0, m > 0.
27.4. Основной случай. Уравнение разветвления.
27.5. О ветвлении решений уравнения с неограниченным оператором.
§ 28. Ветвление решений нелинейных сингулярных интегральных уравнений.
28.2. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром типа Коши в пространствах Гёльдера.
28.3. Аналитический случай.
28.4. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта в пространствах Лебега.
§ 29. Ветвление решений краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений
29.2. Краевые задачи на плоскости для эллиптических систем k-го порядка в пространстве Гёльдера.
29.3. Краевые задачи для эллиптических уравнений в пространстве суммируемых функций.
ГЛАВА IX. Некоторые задачи теории вовмущений
§ 30. Жордановы цепочки и наборы фредгольмовских операторов
30.2. А-жордановы цепочки и наборы при n > 1.
30.3. Условия полноты А-жорданова набора.
30.4. Пример.
§ 31. Возмущение линейного уравнения малым линейным слагаемым
31.2. Случай n > 1.
31.3. Метод неопределенных коэффициентов.
§ 32. Ветвление собственных значений и собственных элементов фредгольмовских операторов
32.2. Уравнение разветвления в аналитическом случае.
32.3. Вырожденный и невырожденный случаи.
32.4. Одномерный случай.
32.5. Метод неопределенных коэффициентов.
32.6. Многомерный случай.
32.7. Некоторые обобщения.
§ 33. Особые решения нелинейных уравнений
33.2. Задача о возмущении линейного уравнения малым нелинейным слагаемым.
33.3. Понятие обобщенной жордановой цепочки.
33.4. Свойства некоторых многочленов.
33.5 Основной случай задачи о возмущении.
33.6. Случаи возмущения второго порядка.
33.7. Решения порядка ...
ГЛАВА X. Некоторые прикладные задачи
§ 34. О малых изгибах прямолинейного стержня под действием постоянной нагрузки
§ 35. К теории малых прогибов гибких пластин
35.2. Случай круглой пластины.
35.3. Исследование уравнения разветвления.
35.4. Круглая пластина с нулевой внешней нагрузкой.
§ 36. О колебаниях спутника в плоскости эллиптической орбиты
§ 37. Об одном виде установившихся волн
37.2. Сведение к системе.
37.3. Регулярный случай.
37.4. Случай ветвления.
Литература