Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3 Вариационные принципы

Рисунки 12.3-12.9 можно было бы с тем же успехом использовать и в случае, если бы лучи на них изображали пути биллиардных шаров на круглом столе без трения, упруго отражающихся от борта. Конечно, при этом нужно было бы рассматривать лишь по одному пути зараз, чтобы избежать столкновений или же рассматривать вместо шаров частицы, являющиеся чем-то вроде „корпускул" Ньютона или фотонов, которые могут свободно проходить друг сквозь друга. При этом принцип Ферма — Гамильтона из § 1 превращается в различные аналогичные законы, как, скажем, закон, называемый (неправильно) „принципом наименьшего действия". („Действие" — это некоторый интеграл вдоль возможного пути частицы (или системы) в пространстве положений и моментов.) Имеет место полная аналогия со случаем двойственной сборки из § 1, и, таким образом, строго говоря, речь идет не о наименьшем, а о критическом, или стационарном, действии. (Даже эпитет „экстремальный" здесь не годится, ибо это предполагало бы лишь максимумы или минимумы, а могут быть и сёдла.) Некоторых это беспокоит, особенно тех, кто готов принять принцип хоть чего-нибудь наименьшего в качестве Закона Божественной Экономии в Природе. Причина, по которой вариационные принципы вообще работают, в значительной степени связана с причиной того, почему они оказываются неполным ответом.

С точки зрения квантовой механики каждому возможному пути частицы отвечает определенная (комплексная) вероятность. Если близким путям с одной и той же конечной точкой Р отвечают вероятности с различными фазами, то эти вероятности гасят друг друга („интерферируют") и физическая вероятность движения частицы по этой дороге (квадрат модуля комплексной вероятности) низка. Но если путь оказывается стационарным для комплексной вероятности (для световых лучей ее фаза определяется тем, сколько раз длина волны укладывается в пройденном пути, или же,

что эквивалентно, просто временем, затрачиваемым на его прохождение), то близкие пути имеют одну и ту же фазу вероятности с точностью до порядка выше первого. Результаты складываются (интерферируют созидательно), и физическая вероятность прибытия по этому пути или по очень близкому становится высокой. В приложениях фазы задаются временем, действием или другой подобной величиной. Придание физическому закону формы, в которой фигурирует «наименьшее» время, действие и т. д., означает подмену физически важного условия стационарного времени, действия и т. д. на не имеющее физического значения утверждение, которое влечет за собой первое, но отнюдь ему не эквивалентно. (Фактически привычка говорить о „наименьшем" часто приводит к недоразумениям. Почти все знают, что геодезическая является „кратчайшим расстоянием между точками", но мало кто — что времяподобные геодезические в пространстве-времени оказываются локально длиннейшими, как это геометрически разъясняется у Додсона и Постона в [5].) Более полное обсуждение вариационных принципов с этой точки зрения имеется в Фейнмановских лекциях [54].

Таким образом, подход геометрической оптики заключается в точности в том, чтобы считать наиболее вероятный путь (задаваемый условием его стационарности) действительным путем частицы. По мере того как мы приближаемся к классическому пределу, устремляя длину волны к нулю, пучок близких почти равновероятных путей сжимается, пик вероятности растет и в пределе описание становится точным. (Мы можем приблизиться к этому пределу, либо беря всё большие частоты, либо формально устремив постоянную Планка к нулю, либо переходя к рассмотрению частиц большего, „классического" размера. Квантовомеханическая длина волны биллиардного шара примерно 10-40 см. Итак, приложимость вариационных принципов в классической механике объясняется квантовой механикой, где вариации получают физический смысл.)

Даже и при конечных длинах волн принимаемое в геометрической оптике приближение истинного пути стационарным будет удовлетворительным, пока действие, время или что там еще имеет этот стационарный путь невырожденной (т. е. морсовской) критической точкой. Для всех физических вычислений очень удобно, когда стационарный путь изолирован. Но в вырожденной критической точке (b или с на рис. 12.14) связка путей с почти одной и той же фазой гораздо шире. Мы не можем аппроксимировать поведение физической реальности Единственным Истинным Путем,

Рис. 12.14

не приходя при этом к нефизичным бесконечностям. Поэтому именно вблизи таких катастрофических точек, как точка сборки в чашке кофе или точки складки в радуге, нарушается применимость геометрической оптики. С помощью теории катастроф мы можем найти эти точки и устойчивые формы, возможные для их геометрии. Затем можно изучить то, что происходит при таких катастрофах, работая с волновым описанием света, а не с моделью частиц, неявно принимаемой в геометрической оптике. Мы развиваем этот подход в § 5, после того как в § 4 указываем ряд более конкретных физических систем, к которым применим такой подход.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление