Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

1 Каустики

В классической геометрической оптике предполагается, что свет распространяется по лучам — криволинейным путям, которые в среде с постоянным показателем преломления являются на самом деле прямыми. Простейшие оптические системы имеют „кусочно-постоянные“ коэффициенты преломления, и поэтому лучи в них состоят из отрезков прямых. При отражении света (см. рис. 12.1 (а)) от отражающей поверхности, предполагаемой гладкой, угол падения и угол отражения равны между собой (их измеряют от нормали к поверхности в точке падения); при прохождении света через границу двух сред (см. рис. 12.1(b)) углы подчиняются закону преломления

где — показатели преломления этих сред.

Эти два закона представляют собой частные случаи принципа наименьшего времени Ферма (сформулированного с привлечением более глубоких понятий Гамильтоном). Этот принцип утверждает, что свет идет по пути, который является экстремальным (т. е. служит минимумом, максимумом или „критической точкой" иного типа) в отношении времени, затрачиваемого на его прохождение, среди всех других путей с теми же концами.

Одно из наиболее удивительных явлений в геометрической оптике — образование каустик; это резкие яркие кривые, которых световые лучи касаются. („Каустика" означает „жгучая"; это название оправдывается, если каустика образована солнечным светом, сопровождающимся тепловым излучением.) Проще всего наблюдать каустику в чашке кофе или в пустой кастрюле; попадающий в нее свет отражается от цилиндрических стенок и дает каустику такого вида, как на рис. 12.2. (Отметьте, что точка острия еще ярче, чем остальная часть кривой.)

Объяснение этого явления не ново: оно восходит по меньшей мере к преподобному Хэмнету Холдичу (1857 г.) и к обширному мемуару на эту тему, написанному в том же году Кэли [60]. Рассмотрим пучок параллельных лучей в плоскости, встречающихся с кругом (рис. 12.3) и отражающихся от его „задней стенки" согласно закону отражения. Отраженные лучи имеют огибающую, кривую с острием, — это и есть каустика. Интуитивно понятно, откуда возникает яркость каустики: будучи касательны к ней, образующие ее лучи почти совпадают между собой, и потому в малой

Рис. 12.1

Рис. 12.2

Рис. 12.3

части пространства собирается больше лучей, чем где-либо еще, что и приводит к большей яркости. К сожалению, как мы уже отмечали, расчеты, основанные на этой идее, дают бесконечное значение интенсивности, в связи с чем попытки продвинуть соответствующую теорию достаточно далеко наталкиваются на большие трудности. Но в том, что касается положения и формы каустики, она совершенно правильно отражает суть дела.

Рассмотрим подробнее, как вычисляется указанная огибающая. Возьмем на плоскости единичную окружность (см. рис. 12.4) и параметризуем множество падающих лучей с помощью угла Согласно закону отражения, уравнением отраженного луча будет

Для нахождения огибающей надо продифференцировать это уравнение по 0 и затем решить получающуюся систему

Рис. 12.4

Рис. 12.5

уравнений относительно мы получим

Это — параметрические уравнения нефроиды (эпициклоиды специального вида) — кривой (рис. 12.5), которую описывает точка Р на ободе колесика диаметра 1/2, катящегося по неподвижному кругу диаметра 1. (Геометрически: угол прямой как опирающийся на диаметр, и потому луч, идущий через Р, будет касаться кривой, по которой движется точка Р при качении колесика, с мгновенным центром вращения в значит, все отраженные лучи будут касаться кривой — их огибающая.) На практике мы видим только одну половину этой кривой, так как вторая служит огибающей виртуальных лучей: продолжений назад таких отраженных лучей, как Y на рис. 12.5. (Появление здесь эпициклоид является классическим фактом; еще Кэли [60] отметил, что огибающие многократно отраженных лучей будут высшими эпициклоидами.)

Кончик острия, которому отвечает находится в точке

При применении этого идеализированного анализа к реальной чашке надо еще принять во внимание третье измерение и тот факт, что лучи попадают в чашку под некоторым углом. Но осевая симметрия цилиндрического отражателя

Рис. 12.6

позволяет нам ввести в рассмотрение плоскости падения света, как показано на рис. 12.6. Эти плоскости, в силу предыдущих вычислений и указанной симметрии, имеют огибающую поверхность, показанную на рис. 12.7. Мы наблюдаем некоторое ее горизонтальное сечение (отвечающее поверхности кофе или дну кастрюли). Этим также объясняется, почему передняя стенка чашки не загораживает лучам дорогу (как это должно было бы быть, если понимать рис. 12.3 слишком буквально): поскольку источник света находится выше края чашки, лучи проходят над ним. Часто это создает дополнительные „краевые эффекты" — на каустику накладываются полосы света. Нужно отдавать себе отчет, что дело здесь исключительно в том, что чашка имеет край, а не в новых каустиках. Всё это доступно экспериментальной проверке в домашних условиях.

Поучительно применить к этой задаче методы, развитые в гл. 8, и принцип Ферма. Рассмотрим некоторое семейство путей идущих из далекой точки на отрицательной полуоси х (рис. 12.8) к точке, расположенной на правой полуокружности на высоте у, и затем попадающих в точку (X, Для каждой точки (X, У) внутри круга мы имеем однопараметрическое семейство путей, параметризованное высотой у. Какие пути возможны? (Очевидно, не тот, что показан на рисунке.) Немного подумав, легко понять, что любой „однократно отраженный" путь от D к (X, Y) должен удовлетворять условию критичности. Далее, несложное техническое рассуждение показывает, что путь будет критическим по отношению ко всем близким путям, если и только если

Рис. 12.7

Рис. 12.8

Если точка достаточно удалена, чтобы идущие из нее прямые можно было в рассматриваемой области считать параллельными (ситуация, к которой применимы предшествующие рассуждения), длину пути можно выразить следующей формулой:

Разлагая правую часть до четвертого порядка по у и до первого порядка по X и Y (полезное упражнение для читателя), получаем

При это дает плюс константа, но симметрия относительно оси X показывает, что в действительности

Применяя теорему 8.7 (§ 9 гл. 8), заключаем, что семейство сильно эквивалентно в некоторой окрестности точки (0,0) универсальной деформации функции Это ведет к локальной геометрии сборки Уитни (упражнение: привести локально и/или (что сложнее) к каноническому виду с точностью до сдвигающей функции),

Рис. 12.9

ориентированной в направлении, которое мы уже нашли с помощью классических геометрических методов. Заметим, что здесь мы имеем двойственную, а не стандартную сборку: из трех лучей, приходящих в заданную точку внутри клюва сборки (рис. 12.9), лишь средний тратит на свой путь наименьшее время по сравнению со всеми соседями. Другие тратят больше, чем соседние лучи из нашего семейства (хотя и меньше, чем непрямолинейные соседи).

Аналогичный анализ можно провести и для каустической поверхности на рис. 12.7, только теперь имеются три параметра управления (X, Y, Z), из которых один является немым. Очевидное семейство путей двумерно и параметризуется цилиндром, а не дугой, но с помощью подходящего вертикального сдвига, зависящего от высота, на которой эти пути пересекают цилиндр, делается несущественной переменной состояния.

Широко обобщая понятие каустик геометрической оптики, можно ввести понятие каустики в и показать, что структурно устойчивые каустики в являются бифуркационными множествами элементарных катастроф с управляющими параметрами, с вытекающими отсюда теоремами типичности. Таким образом, в мы в типичном случае будем наблюдать каустики, отвечающие складке, сборке, ласточкину хвосту, эллиптической и гиперболической омбиликам — и (локально) только им. (Впрочем, как отметил Берри [61, 62], при специальных условиях симметрии можно наблюдать также и атипичные каустики.) Даже на этом классическом уровне лишь теория катастроф позволяет прийти к пониманию типичных каустик природы, а не одних только искусственных каустик оптических систем (таких

Рис. 12.10

как оптические приборы). Недавние работы Берри [61—64] и Берри и Ная [65], кое-что из которых мы дальше здесь обсудим, подтверждают это заявление.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление