Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14. 2n-валковая мельница

Для естественного обобщения предыдущих мельниц — „правильной" (максимально симметричной) -валковой мельницы — соображения симметрии типа использованных в § 12 приводят к модельному многочлену

Рис. 11.33

в качестве разложения до порядка функции тока, подлежащей деформации. Этот многочлен -определен, где

и его коразмерность равна Эти факты нетрудно проверить алгебраически, пользуясь приемом Сирсмы из гл. 8.

Поскольку максимальное число критических точек, которые могут иметь вблизи нуля функции, близкие к данной функции равняется мы видим, что сложность течения в -валковой мельнице, с числом точек торможения, доходящим до возрастает очень быстро. (Согласно теории индекса, о которой у нас здесь нет места поговорить, каждое невырожденное течение в этом семействе имеет по меньшей мере сёдел.) Десятивалковая мельница, пожалуй, уже выходит за пределы возможностей эксперимента, а вот для восьмивалковой можно поставить ряд интересных вопросов.

Для полной деформации потребовалось бы восьмимерное пространство управляющих параметров (это одна из катастроф двойной сборки, работа по исследованию геометрии которой еще только начата). Восемь управляющих переменных, предоставляемых скоростями валиков, не дадут трансверсальной деформации по той же причине, по какой трех скоростей не хватает для полной деформации шестивалковой мельницы. Необходимая добавочная переменная, вероятно, должна иметь геометрический характер, отвечающий изменению двойного отношения (§ 5 гл. 7) у деформируемых квартик.

Установка, подобная представленной на рис. 11.33, не обладающая поворотной симметрией порядка 8, даст, как можно ожидать из общих соображений, двойную сборку, дифференциально-геометрически отличную от деформации многочлена хотя топологически точно такую же.

Эксперименты над восьмивалковыми мельницами были бы интересны не только потому, что это пролило бы дополнительный свет на неньютоновы потоки, но и потому, что это дало бы информацию о физическом значении инварианта двойного отношения, в условиях когда величину этого инварианта можно менять по произволу. (Чаще всего, как например в случае выпучивания пластин (гл. 13), двойное отношение в деформации двойной сборки с трудом поддается экспериментальному исследованию.)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление