Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12 Нелокальное бифуркационное множество для эллиптической омбилики

В § 6 гл. 9 наши усилия были направлены на отыскание точек в пространстве деформации, где соответствующая функция от имеет вырожденные (а потому неустойчивые и приводящие к бифуркациям) критические точки. Если у функции нет таких точек, то ее форма вблизи каждой точки структурно устойчива и тогда для нее общее число максимумов, общее число минимумов и общее число сёдел (которыми мы чаще всего и интересуемся) не меняются при малых возмущениях. Но функция может оказаться неустойчивой глобально, не имея никаких локальных вырожденностей, из-за того, что в двух невырожденных критических точках она принимает одно и то же значение.

На рис. 11.26 (b) изображен график функции типа с отдельными представительными горизонталями. Несложно убедиться, что единственными критическими точками служат причем это невырожденные седла, т. е. устойчивые особенности. Но произвольно малое возмущение может сделать седло, где ниже другого

Рис. 11.26

(рис. 11.26(a)) или выше (рис. 11.26(c)). Никакой диффеоморфизм — ни области определения этих функций ни области их значений И? — не сможет подогнать топологическую картину горизонталей для любого из этих случаев к картине рис. 11.26(b). Глобальная устойчивость функции требует не только йевырожденности ее критических точек, но также и несовпадения критических значений. Более того, никакой диффеоморфизм, близкий к тождественному, не сможет совместить между собой рис. 11.26(a) и (с) (сможет отражение относительно оси у, но никакое преобразование, сохраняющее ориентацию, не сможет). Путь от (а) к (с) лежит через

Карты горизонталей на фото 6 и 7 все демонстрируют потенциалы с неустойчивостями этого типа помимо локальной неустойчивости типа вырожденной складки в правой части карты Соответствующие фотографии экспериментальных течений все показывают устойчивых соседей теоретически рассчитанных потенциалов, неэквивалентных им глобально.

Чтобы иметь возможность делать более детальные предсказания, мы должны поэтому дополнительно изучить — как часть бифуркационной структуры — множество тех точек в пространстве деформации, в которых для соответствующих функций имеет место совпадение критических значений. Арнольд называет в [59] это множество стратом Максвелла, в то время как Том, первый упомянувший здесь имя Максвелла, использует термин множество Максвелла для случая, когда совпадение критических значений имеет место в токах минимума (связывая его с правилом Максвел-ра в термодинамике, о чем речь в гл. 14). Пожалуй, более подошел бы тут термин нелокальное бифуркационное множество (для множества точек в пространстве деформации, которым отвечают функции с совпадающими критическими значениями) в противоположность локальному бифуркационному множеству тех точек, где соответствующие функции обнаруживают локальную вырожденность. (Эта терминология имеет еще то достоинство, что она распространяется на более общий случай динамических систем, где возможны гораздо более интересные нелокальные бифуркации, такие, как взрывное появление „странных аттракторов" (Чиллинг-ворт [52]).) Отдельные точки, как, например, точка 4 на рис. 11.25, могут принадлежать сразу к обоим бифуркационным множествам.

Течение на рис. 11.27 не стало бы неустойчивым как течение, если бы функции тока случилось иметь в точках А и В равные значения. Поэтому нам следует отдельно

Рис. 11.27

Рис. 11.28 (см. скан)


определить множество соединения сёдел для данной деформации как множество тех точек пространства деформации, для которых соответствующие функции имеют критические точки, соединенные какой-нибудь линией уровня. (Если функции определены не на плоскости, а в 3, то линии уровня заменяются (гипер)поверхностями уровня.) Это множество является, конечно, подмножеством нелокального бифуркационного множества; в случае эллиптической омбилики оба множества совпадают.

На рис. 11.28 изображены карты линий уровня для представительных значений при фиксированном значении Легко заметить, что пересечение множества соединения седел с этой плоскостью (плоскостью рисунка) состоит из трех открытых полупрямых, выходящих из начала, являющегося как видно из рисунка, точкой сборки; поэтому полное (локальное вместе с нелокальным) бифуркационное множество выглядит так, как показано на рис. 11.29. Заметим, что проход через нелокальное множество изменяет связи между втекающими и вытекающими

Рис. 11.29

токами; в частности, единственный „канал", соединяющий противоположные „проливы" (затемненный на рис. 11.30), перемещается.

Экспериментальная задача Берри и Мэкли состояла, таким образом, в том, чтобы попытаться „перемещаться" по возможности в пределах нелокального бифуркационного множества. То, что им удалось со столь большой точностью оставаться на этом куске поверхности, служит показателем высокой адекватности их теории.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление