Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ВЫРОЖДЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ

11 Шестивалковая мельница

Теперь посмотрим, каких течений следует ожидать в шестивалковом аналоге четырехвалковой мельницы (рис. 11.21). Если симметрия установки (при одинаковых скоростях вращения валиков) должна сохраниться в течении, то разложение функции тока в начале не может иметь линейной части. Значение функции тока в начале можно считать нулевым. Единственная квадратичная функция, обладающая поворотной симметрией порядка 3 (симметрией относительно поворотов на треть полного оборота), — это и если течение также должно быть зеркально-симметрично относительно оси то и квадратичная часть должна отсутствовать. Выписывая общую однородную кубику в виде

где а а и Р — комплексные числа (см. Зиман [7]), мы видим, что, поскольку поворот на треть полного оборота сводится к умножению на эта кубика в результате такого поворота превратится в следующую:

Значит, если обладает поворотной симметрией порядка 3, то для нее и потому она равна

где — вещественная и мнимая части а. Но отражение относительно оси у с последующим изменением знака (поскольку отражение изменяет все направления тока на противоположные), сохраняет знак и обращает знак Отсюда следует, что течение самого общего вида с указанными симметриями записывается так:

При многочлен является -определенным, и поэтому мы отбрасываем тейл и принимаем эту кубику в качестве нашей локальной модели, так же как ранее для четырехвалковой мельницы мы приняли в качестве модели квадрику И снова линии уровня модельной кубики

Рис. 11.21

(кликните для просмотра скана)

(фото 6, 1 (b)) хорошо согласуются с наблюдаемыми линиями тока (фото 6, 1 (а)).

Согласие вблизи начала, однако, не столь хорошее, как у рис. 11.11 и фото 2, особенно если учесть, что фото 6, 1 (а) сделано лишь после тщательной отладки установки. Дело в том, что предположения о симметрии, приведшие нас к функции не из тех, которым легко удовлетворить в точности: на практике нельзя ожидать, чтобы скорости вращения валиков были совершенно одинаковыми или чтобы сами валики были совершенно идентичными. Поэтому нам следует допустить небольшую завихренность со и прямолинейные равномерные течения со скоростями в направлении осей х и у. Эти возмущения, которые мы могли игнорировать в случае четырехвалковой мельницы вследствие структурной устойчивости функции приводят нас к семейству

включающему в себя „совершенную" функцию Это трехпараметрическое семейство уже является (как семейство) структурно устойчивым; более того, мы его уже изучили в § 6 гл. 9 (константу у можно, конечно, сделать равной единице). На деле получилось так, что именно узнав в этом семействе эллиптическую омбилику, Берри догадался об его устойчивости. А теперь, на основании тех же эвристических соображений, что и раньше, мы можем пренебречь любыми новыми возмущениями (как эквивалентными уже рассмотренным) и использовать указанное семейство как модельное для семейства течений.

Одно из интересных следствий универсальности этой деформации состоит в том, что хотя мы в состоянии управлять шестью скоростями валиков, трех параметров управления вполне хватает для получения всех возможных картин течения, близких в картине, представленной на фото 6, 1(a). Это подсказало Берри и Мэкли мысль об экспериментальной установке, в которой три пары валиков приводились движение тремя независимыми двигателями. Управляющими параметрами здесь слежили три скорости вращения (см. рис. 11.22, где положительные направления вращений указаны стрелками).

Далее, мы знаем, что почти всякая трехпараметрическая деформация функции является (универсальной. Но допустим, что любой строго симметричный набор скоростей

Рис. 11.22

Рис. 11.23

Рис. 11.24

дает соответственно строго симметричное течение. (Физически это разумное допущение, хотя бы для некоторого определенного интервала значений Я, и оно выполнено у Берри и Мэкли [53]. Мы могли бы привести здесь топологическое доказательство того, что если указанная симметрия течения физически реализуется хотя бы для одного значения , то оно реализуется на некотором интервале значений .) В таком случае мы имеем омбилические точки на целой прямой в пространстве параметров (рис. 11.23). Но в трансверсальном семействе с тремя параметрами могут, согласно § 4 гл. 7, появляться лишь изолированные точки, в которых матрица Гессе дважды вырожденна. Действительно, мы это детально показали в § 6 гл. 9 для изученной там универсальной деформации, а значит (ввиду эквивалентности универсальных деформаций) это верно для любой трехпараметрической деформации нашего симметричного течения. Это означает, что деформация, получаемая с помощью параметров не универсальна и нам следует добавить еще один управляющий параметр. В своем эксперименте Берри и Мэкли использовали в качестве такого параметра довольно тонкую вещь — добавляли к жидкости некоторый полимер.

Однако как же тогда связаны с Конечно, вычислить в явном виде соответствующие точные зависимости было бы трудно, но для них можно найти разумные приближения, примерно так же как для случая четырехвалковой мельницы, хотя и посложнее. Что касается линейных членов с то Берри и Мэкли делают пред положение, что каждая пара соседних валиков вносит сюда линейный вклад, пропорциональный их средней скорости (см. рис. 11.24), с одним коэффициентом пропорциональности, для потоков на входе и другим, а. для потоков на выходе. (Причина такого разделения выяснится позже.) Мы отсылаем читателя к их статье за детальным обоснованием следующих формул:

здесь — константы, выражающиеся через радиусы валиков и расстояния между ними. Заметьте, что трехмерная вариация скоростей дает лишь

Рис. 11.25

двумерное подпространство пространства параметров универсальной деформации оказываются пропорциональными); эта деформация, как и указывалось, не будет версальной.

Если в качестве жидкости для эксперимента взят глицерин, который прекрасно описывается моделью ньютоновой жидкости, нет нужды предполагать различие между динамикой на входе и на выходе, а тем самым и в механизме преобразования скоростей в горловинах под действием Поэтому можно положить и мы попадаем в плоскость (см. (11.2)). Подбирая скорости валиков так, чтобы получить согласно формулам (11.1) — (11.3) точки в плоскости помеченные на рис. 11.25 цифрами от 1 до 10, мы приходим экспериментально к результатам, представленным на фото 6 и 7. Справа показаны линии уровня для теоретических полиномиальных функций тока, вычерченные с помощью вычислительной машины. Подчеркнем хорошее согласие эксперимента с теорией следующими замечаниями.

(а) Типичная плоскость, проходящая через начало на рис. 11.25, даже плоскость, содержащая ось не будет содержать точек сборки. Точность, с которой течение 8(a) на фото 7 повторяет карту горизонталей 8(b), является поэтому подтверждением предсказанных свойств экспериментальной установки. (Между прочим, типичная плоскость на рис. 11.25 вообще не обязана проходить через начало. Соображения симметрии, позволившие нам вычислить вид функции тока для применимы лишь

(кликните для просмотра скана)

постольку, поскольку эта симметрия реализуется физически, как в отношении геометрии, так и в отношении скоростей. Течение 1 представляет собой поэтому триумф техники эксперимента.)

(b) При и фиксированном точка сборки должна появиться для значения которое равно умноженному на —3 значению для точки складки 4, вне зависимости от значений конечно при условии, что формулы верны. Экспериментальное значение оказывается равным —2.75. Поскольку, как это ясно из рис. 11.25, мы можем, лишь слегка пошевелив плоскость значительно понизить верхнюю точку бифуркации, это согласие замечательно, причем с отклонением в нужную сторону.

(c) Зеркальной симметрией относительно оси х функция

обладает, если и только если Эта симметрия точна на рисунках вычислительной машины; то, что она оказывается до такой степени точной на фотографиях, служит свидетельством в пользу не только всей модели вообще, но также и гипотезы, что То, как именно происходят явно видимые на этих фото отклонения от точной симметрии, служит предметом наших последующих замечаний.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление