Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10 Растягивающие течения

Чистое вращение, ясное дело, не оказывает никаких растягивающих воздействий. Простой сдвиг оказывает небольшое такое воздействие (рис. 11.17), но он также разворачивает длинные молекулы вдоль потока. В этом направлении линии не растягиваются, и итоговый результат расчесывания невелик.

Величину расчесывания можно измерить с помощью оптических эффектов. Свет, проходящий через пучок

Рис. 11.18

Рис. 11.19

Рис. 11.20

расчесанных молекул, взаимодействует с ним по-разному в зависимости от своей поляризации. Электромагнитные колебания в плоскости, параллельной молекулам, распространяются с другой скоростью, чем колебания в плоскости, перпендикулярной к ним (рис. 11.18), и коэффициент преломления для этих двух случаев будет различен; мы получим материал с двойным лучепреломлением. (Свет, поляризованный в других направлениях, ведет себя как суперпозиция указанных двух случаев.) Нерасчесанные цепи не дают такого эффекта, и о степени расчесанности можно судить по двулучепреломлению. (Физические подробности см. у Мэкли и Келлера [58].)

Течение простого сдвига (реализованное в установке Куэтта) обнаруживает, действительно, совсем незначительное двойное лучепреломление, равномерно распределенное по жидкости, в согласии с незначительностью растяжения полимерных цепей, вытекающей из рис. 11.17.

С другой стороны, в течении чистого сдвига мы имеем ситуацию, изображенную на рис. 11.19, где показаны последовательные положения некоторого прямоугольника жидкости. Штрихи на соседней линии тока показывают, каким образом частично растянутые молекулы непрерывно поворачиваются в направлении, в котором они будут растягиваться еще больше. Это прямо противоположно случаю простого сдвига, при котором молекулы поворачиваются так, что растяжение уменьшается. По этой причине Кроули, Фрэнк, Мэкли и Стефенсон [55] называют такое течение постоянно растягивающим.

В качестве неплохого приближения полимерные молекулы, входящие через линию (рис. 11.20) в область четырехвалковой мельницы, где течение достаточно хорошо описывается функцией можно считать нерастянутыми; действительно, из-за стремления цепей спутываться обратно в клубок лишь весьма сильное растягивание жидкости может оказать на них заметное влияние. Простые вычисления

(Кроули, Фрэнк, Мэкли и Стефенсон [55]) приводят тогда к заключению, что величина, на которую растягивается элемент жидкости в точке после прохода через обратно пропорциональна у независимо от того, на какой линии тока лежит эта тока. Конечно, бесконечное значение при не достигается для полимерных цепей, которые после полного распутывания могут еще лишь совсем немного растянуться, а потом рвутся. (Это приводит к довольно специальному эффекту вязкости — сопротивлению дальнейшему растяжению. В то же время некоторые другие эффекты вязкости — в частности связанные с турбулентностью — оказываются сильно редуцированными. Очень небольшая добавка нужного полимера заставляет воду уходить в водосток гораздо быстрее. Точно также полимер, добавленный к нефти, ускоряет ее прохождение по нефтепроводу — и никто толком не Понимает, почему.) Если оставить в стороне бесконечности, проведенный анализ показывает, что должен иметься достаточно ярко выраженный максимум двойного лучепреломления, локализованный на выходящей оси, что и подтверждается фото 5 (из работы Кроули, Фрэнка, Мэкли и Стефенсона [55]).

Для случая произвольной функции тока эти рассмотрения ведут (см. Берри и Мэкли [53]) к понятию скорости постоянного растяжения, определяемой как

где — матрица Гессе. Мы опустим здесь соответствующие объяснения (в которых участвует красивая классическая дифференциальная геометрия), заметим только, что для эта скорость всюду равна т. е. мнима и физического смысла не имеет, для (простой сдвиг) всюду равна 0, а для чистого сдвига равна 2.

Нужно отметить, что здесь в дело идет в значительной мере дифференциальная геометрия, а не только дифференциальная топология, поскольку привлекается если и не расстояние, то площадь. Вне точек торможения градиент ненулевой, и, следовательно, согласно гл. с точностью до локального диффеоморфизма линейна. А линейная приводит к равномерному потоку, в котором жидкость движется прямо и жестко; нет ни растяжения, ни сдвига и вообще ничего не случается, что совершенно неинтересно — в тех редких случаях, когда это так. Желая применить модель теории катастроф, мы вполне определенным образом приходим к намеченной выше эвристической программе.

Фото 5. Локализованное двулучепреломление в потоке 1.5%-ного водного раствора окиси полиэтилена в четырехвалковой мельнице, наблюдаемом через скрещенные поляроиды. Указаны направления вращения валиков. (Кроули, Фрэнк, Мэкли и Стефенсон [55], рис. 8.)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление