Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4 Матрицы

Теперь мы перейдем от геометрических аспектов к вычислительным. Говорят, что скаляры которыми определяется линейное отображение при заданных двух базисах (см. (2.5)), образуют матрицу отображения по отношению к этим базисам; обычно их записывают в виде прямоугольника

Это матрица размера или (-матрица) с строками и столбцами. Матрицы чрезвычайно удобны для проведения вычислений с линейными преобразованиями. Для линейных преобразований мы определяем умножение на скаляр, сложение и произведение (композицию) равенствами

где Фиксировав базисы для для и для мы можем следующим образом перенести эти операции на матрицы Умножению на скаляр и сложению отвечают формулы

Более интересно умножение матриц, отвечающее композиции линейных преобразований. Матрицы для и определяются равенствами

Тогда

Если — матрица для по отношению к выбранным базисам, то получается, что

Таким образом, мы приходим к тому, чтобы определить произведение матриц размера соответственно при помощи правила

Нулевая матрица — это матрица размера все элементы которой равны нулю. Единичная матрица — это матрица размера которой на главной диагонали стоят 1, а остальные элементы равны 0:

Такая матрица отвечает тождественному преобразованию

Из многих вычислительных процедур, использующих матрицы, мы остановимся здесь лишь на одной — на вычислении ранга линейного преобразования с помощью процесса приведения по строкам к ступенчатой форме. Объясним, что это такое.

Мы допускаем три типа операций над строками данной матрицы:

(см. скан)

(Эти обозначения введены лишь для разового использования в приводимом ниже иллюстративном примере.)

Применяя последовательность таких операций, любую матрицу можно привести к ступенчатой форме, т. е. к форме

где на месте каждой звездочки стоит ненулевой элемент, а ниже „лестницы" все элементы нулевые. („Ступеньки" не обязаны иметь одинаковую длину.) Вместо доказательства мы приведем типичный пример. Чтобы сократить процедуру приведения, заметим, что в результате операций примененных в такой последовательности, строка умноженная на X, прибавляется к строке I, а все остальные строки остаются без изменения. Эту последовательность операций естественно обозначить через

Возьмем матрицу

Проделаем последовательно следующие операции над строками:

Теперь можно повторить тот же процесс над -блоком, стоящим в правом нижнем углу, поскольку первая строка и первый столбец уже имеют желаемый вид. Получим

Далее можно заняться -блоком:

и процесс завершен; ранг нашей матрицы (или соответствующего линейного преобразования) равен 3.

Доказательство того, что в результате этого процесса действительно всегда получается ранг, несложно; грубо говоря, каждая операция оставляет ранг неизменным, а ранг матрицы, имеющей ступенчатую форму, как легко видеть, равен числу ненулевых строк.

Еще небольшая порция матричной алгебры, которая позже окажется нам полезной. Для -матрицы М обратная матрица определяется как матрица, обладающая свойством

(если таковая матрица существует). В случае когда М имеет обратную матрицу, говорят, что М невырожденна; в противном случае ее называют вырожденной. Матрица невырожденна, если и только если соответствующее преобразование

невырожденно; и -матрица невырожденна, если и только если ее ранг равен

Другой критерий невырожденности, полезный более в теории, чем на практике, основан на числовом инварианте, называемом определителем. Он обозначается через и удовлетворяет соотношению

Мы не будем давать здесь его определения. Геометрически он характеризует, что преобразование делает с объемом. Подробности см. у Додсона и Постона [5]. Квадратная матрица невырожденна, если и только если ее определитель отличен от нуля. (Хотя теоретически это и полезный результат, вычисление определителей — дело хлопотливое и приведение по строкам на практике лучше.)

Транспонированная матрица для матрицы определяется формулой

Таким образом, транспонирование — это отражение относительно главной диагонали. Имеет место равенство

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление