Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8 Экспериментальное воплощение

Как уже отмечалось, чистое вращение, отвечающее функции тока реализовать просто. Поскольку, каков бы ни был механизм возникновения сил вязкости в жидкости, их действие всегда состоит в сопротивлении всякому относительному движению внутри жидкости, чистое вращение является единственным возможным стационарным течением в равномерно вращающемся сосуде в отсутствие специальных внешних сил, действующих на жидкость. Это утверждение несложно доказать — главная трудность в том, чтобы точно его сформулировать, — и для наших теперешних целей мы просто можем считать его интуитивно очевидным.

Более важно течение, представленное на рис. 11.6(d) — простой сдвиг. Так как трение о стенки сосуда приводит к тому, что скорость жидкости относительно стенок убывает до нуля при приближении к ним, естественно было бы надеяться реализовать этот случай, поместив жидкость между двумя скользящими параллельными стенками, как показано на рис. 11.9(a). Это, однако, неподходяще с экспериментальной точки зрения, так как бесконечных стенок не достанешь. Более практичен эксперимент Куэтта (рис. 11.9(b)).

Строгое рассуждение, использующее несколько больше вычислений, чем в предыдущем изложении, и самую обычную математическую модель для учета влияния вязкости, приводит к функции тока

Рис. 11.9

как всегда с точностью до константы. Как видно из рис. 11.10, эта функция почти линейна по в области т. е. между двумя цилиндрами. (Это течение можно рассматривать как результат взаимного наложения чистого вращения, дающего член и безвихревого течения с гармонической функцией тока ) С точностью до гладкой замены переменных она является линейной, и для многих практических целей ее можно считать таковой. Такая экспериментальная установка служит прекрасным приближением к течению простого сдвига на рис. 11.6(d), особенно в том случае, когда внутренний радиус близок к внешнему (выше приравненному для удобства единице).

Седловые течения, представленные на рис. 11.6(e) и (f), - вещь более тонкая. Нет способа взять часть течения между двумя линиями тока с постоянной скоростью вдоль каждой из них и попытаться реализовать течение с помощью движущихся стенок соответствующей формы. (Начать с того, что ни на какой линии тока скорость не является постоянной.) Далее, характер влияния вязкости очень сложен, и получение точного решения, учитывающего энергию движущих сил у границы, ее передачу внутрь жидкости и диссипацию в результате вязкости, было бы чрезвычайно сложным делом для течения столь общего вида. На деле же, однако, седловые течения реализуются с высокой точностью и без большого труда.

Рис. 11.10

Рис. 11.11

Фото 2. Линии тока в четырехважовой мельнице для 1.5%-ного раствора окиси полиэтилена в воде (Кроули, Фрэнк, Мэкли и Стефенсон [55], рис. 6).

Рис. 11.12

Подходящая экспериментальная установка была придумана для этой цели Дж. Тейлором в 1934 г. и с тех пор известна как четырехвалковая мельница (рис. 11.11). Четыре симметрично расположенных валика вращаются, как показано, с равными скоростями в чередующихся направлениях. Ясно, что течение в окрестности валиков нельзя задать ни точно, ни глобально с помощью функции а эквивалентной (поворот на 45°), так как эта функция не имеет замкнутых линий уровня. Тем не менее на практике (фото 2) эта функция тока чрезвычайно точно аппроксимирует течение в круговой области, расположенной между валиками (рис. 11.12(a)), если а подобрать так, чтобы скорости валиков (на ободе) совпадали со скоростями течения, отвечающего а в точках касания валиков и линий тока, показанных на рис. 11.12(b).

Успех этой аппроксимации обеспечивается во многом природой морсовских функций. По соображениям симметрии функция тока должна быть такой, чтобы ее тейлоровское разложение в начале начиналось с а Значит, для почти всех а (для всех, кроме 0) функция тока -опреде-ленна, и поэтому служит ее точным описанием в некоторой окрестности V начала с точностью до некоторой (не обязательно сохраняющей площадь) гладкой замены координат. На практике V оказывается довольно большой, а требующиеся изменения в координатах пренебрежимо малыми; так бывает чаще всего, хотя и не всегда. Дальше, функция устойчива, поэтому даже если установка и не совершенно симметрична, то хотя уже нельзя ожидать, что седло будет в начале, оно все же обязательно будет вблизи начала, так что по-прежнему будет доставлять хорошее описание течения. Эта устойчивость составляет суть различия между четырехвалковой мельницей и шестивалковой, которую мы обсудим ниже и которая представляет для нас главный интерес в этой главе.

Рис. 11.13

Рис. 11.14. Схематическое изображение идеализированного течения между двумя согласованно вращающимися валиками (Фрэнк и Мэкли [56], рис. 1).

Устойчивость морсовских седел выступает еще более явственно, если взять двух валковую мельницу. Из рис. 11.13 ясно, что между валиками должна быть точка торможения, и простейшей моделью в этом случае будет функция тока где (рис. 11.14). Благодаря структурной устойчивости она дает хорошее представление о течении, наблюдаемом в эксперименте (фото 3). Заметьте, что входящие в точку торможения и выходящие из нее линии тока искривлены, так что требуется „криволинейная" замена координат, чтобы привести истинную функцию тока к чисто квадратичной форме в центре. Но и простая аппроксимация функцией в исходных координатах вполне достаточна для физических расчетов, относящихся к течению вблизи точки торможения, Фрэнк и Мэкли 1561.

Сила свойств структурной устойчивости и -определенности проявляется еще ярче, когда мы изменяем физические характеристики жидкости. На фото 3 мы видим течение ньютоновой жидкости (т. е. жидкости, повинующейся чрезвычайно точно уравнениям жидкости, отвечающим наипростейшей гипотезе о ненулевых силах вязкости). Если добавить к жидкости полимерные молекулы, действие вязкости станет более сложным. На фото 4 представлены результаты соответствующего эксперимента. Свойство невырожденности течения остается, но при увеличении скорости валиков (фото 4 (а) — (d)) тупой угол между „входящими" и „выходящими" линиями тока возрастает от 129 до 145°, с точностью ±3°. (В противоположность этому в ньютоновом течении повышение скорости вращения валиков просто повышает скорость течения, не внося заметных изменений в его геометрию.) Изучение соотношений между значениями А и В и другими измеренными физическими величинами пролило свет на поведение полимерных молекул в потоке, а -определенность вполне оправдывает то пренебрежение членами высшего порядка, за которое извиняются Фрэнк и Мэкли в 156]. Это оправдание, конечно, остается отчасти эвристичным, ввиду замечаний, сделанных выше в § 6.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление