Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

УСТОЙЧИВОСТЬ И ЭКСПЕРИМЕНТ

6 Замены переменных

Рассмотрим функцию тока

где — расстояние от точки до начала. Описываемое ею течение имеет, ясное дело, круговые линии тока со скоростью на окружности радиуса Угловая скорость равна, следовательно, т. е. не постоянна. В частности, движение не жесткое — имеются локальные относительные движения внутри жидкости. Поэтому такое движение в отличие от задаваемого функцией будет встречать сопротивление сил вязкости. Если только на жидкость не действуют какие-то специальным образом подобранные силы, течение не может существовать как стационарное: внешние области будут замедляться, а/или внутренние ускоряться. Таким образом, имеется существенное качественное различие между функциями при этой их физической интерпретации.

В то же время эти две функции эквивалентны в смысле гл. 4. Существует (даже не просто локальный, а) глобальный диффеоморфизм

переводящий одну из них в другую. Это показывает, что в данном контексте „одинаковость с точностью до диффеоморфизма" является недостаточно сильным отношением, чтобы служить полным выражением „качественной одинаковости". При рассмотрении этих вопросов часто имело место понятное стремление отождествить эти два понятия из-за мощных и общих результатов, которые были доказаны относительно диффеотипов. (В теории динамических систем, где понятие диффеотипа не приводит к великим теоремам, последовательно вводились всё более слабые понятия качественной одинаковости и почти каждый раз представлялись как „Истинная Качественная Одинаковость".) Понятие „качественного" в действительности очень изменчиво; поскольку числа суть качества вещей — в этом исходная предпосылка всякого физического вычисления, — поскольку оно содержит идею „количественного".

Как оказывается, общие законы (уравнения Навье — Стокса), описывающие поведение жидкости и доставляющие явную математическую модель для сил вязкости, инвариантны относительно диффеоморфизмов, сохраняющих объем (в двумерном случае площадь). Но тогда и такие „качества",

которые, скажем, описывают возможное стационарное течение, остаются инвариантными при таких диффеоморфизмах. Это хороший довод в пользу того, чтобы в изучаемой ситуации отождествить понятия „качественно" и „с точностью до замен, сохраняющих объем".

К несчастью, ничто из теории, развитой в гл. 4-8, не переносится на случай такого понятия эквивалентности. Например, нет такой вещи, как -определенность. (Это проще всего увидеть в размерности 1, где аналогичным отношением будет „с точностью до сохраняющих длину замен переменных". Такая замена может иметь только вид либо где с — постоянная; поэтому с ее помощью нельзя даже убрать член бесконечного порядка, скажем свести Весь подход гл. 7, где мы выделили стандартные формы, к которым почти всё может быть сведено, полностью теряет силу, если мы ограничиваемся преобразованиями, сохраняющими площадь. И действительно, оказывается бесконечно атипичным (этому слову можно придать точный смысл точно так же, как в гл. 7), чтобы семейство функций было приводимо в указанном сильном смысле к одной из полиномиальных форм, перечисленных в § 7 гл. 7. Подобным же образом, исчезает и свойство структурной устойчивости. Нет функции, которую нельзя было бы сколь угодно малым возмущением превратить в функцию, не эквивалентную ей относительно сохраняющих площадь преобразований координат.

И все же функция даже рассматриваемая как функция тока, имеет много свойств, которые не нарушаются при малых возмущениях (вроде того свойства, что точки, где скорость течения равна нулю, изолированны). Наличие какой-то интересной устойчивости является здесь очевидным. Строгий подход к ее анализу мог бы состоять в том, чтобы работать в пространстве точных решений полной системы уравнений, но в качестве замен переменных допускать любые диффеоморфизмы. Благодаря этому мы избегли бы таких вещей, как превращение ибо только одна из этих функций могла бы быть решением при заданных внешних силах, вязкости и пр. Получилась бы интересная теория.

Такая программа, однако, далеко не тривиальна. Поскольку для любой физической задачи понятие „решения полной системы уравнений" включает в себя удовлетворение граничным условиям (у стенки или на бесконечности), мы не вправе сосредоточить свое внимание лишь на окрестности начала. Нам необходимо знать, что делают наши функции на границе, на достаточном удалении от начала. Хотя

теория катастроф и пригодна в такого рода вопросах (примером чего служит анализ выпучивания пластин в гл. 13), ее применение здесь сопряжено с большим числом технических тонкостей. Когда мы не просто имеем дело со сложными граничными условиями, но еще меняем сами уравнения неизвестным образом (например, как ниже, добавляя полимеры, в результате чего вязкость становится зависящей самым запутанным образом от течения, равно как и наоборот), то требования строгости и требования сиюминутной приложимости расходятся. Даже классические уравнения Навье — Стокса для ньютонова течения не вполне понятны в строгом смысле слова: никто еще не доказал, что они имеют решения на всей временной оси при любых начальных данных. (Если это не так, то что ж - „ерриге si muove“ - жидкость будет по-прежнему течь, когда решения закончатся, а модель будет разбита...)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление