Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5 Методы комплексной переменной

Суть приведенного замечания из лекции Фейнмана состояла в том, чтобы оправдать интерес к безвихревым течениям. Исторически этот интерес был мотивирован теоремой о том, что в невязкой жидкости (как в случае двух, так и в случае трех измерений) поток, безвихревой в начальный момент, таким и останется, как бы он ни изменялся со временем. Тем самым в математику доставляется специальный класс точных решений без вязких сил и без завихренности, с которым можно справиться и который приятно изучать. Тот факт, что в отличие, скажем, от несжимаемости невязкость представляется дико бессмысленным допущением для большинства задач, связанных с жидкостью (фон Нейман называл теоретиков, занимавшихся невязкой жидкостью, людьми, изучающими „сухую воду"), по-видимому, никого не волновал до конца 19-го века.

Замечательное свойство безвихревых течений, которые при отсутствии вязкости можно считать таковыми все время, заключается в двумерном случае в обращении в нуль

лапласиана функции тока. Если гармоническая функция, т. е. если то, объединяя х и у в единую комплексную переменную мы можем представить как вещественную часть некоторой комплексно-аналитической функции Это позволяет переписывать учебники по теории функций комплексной переменной как учебники по механике жидкостей и порождает много очаровательных задач из области комплексной геометрии. Тот факт, что точные решения этих задач приводили к ответам, которые обычно лишь весьма приблизительно соответствовали физическим течениям, а зачастую и вовсе не соответствовали, в посвященной этим задачам литературе не акцентировался.

Такие методы комплексной переменной могут иногда быть полезными. Но степень требующейся осторожности здесь много выше, чем для других методов, обсуждаемых в этой главе. При классическом подходе они служат привлекательно мощным средством для получения точных количественных результатов. Однако эти результаты могут быть неверными — даже качественно.

Имеется безвихревая аппроксимация вихревого движения — это особенности голоморфных (комплексно-аналитических) функций. В частности,

представляет собой гармоническую функцию тока, описывающую жидкость, которая движется по окружностям вокруг начала все быстрее и быстрее по мере приближения к началу (а не медленнее, как для колеса). Вихри, где жидкость движется внутрь, как у сливного отверстия ванны, ведут себя примерно таким образом, поскольку сохранение момента количества движения требует ускорения вращения при приближении к центру. Будут ли скорости действительно возрастать до бесконечности в соответствии с выписанным выше логарифмом или же скорость и завихренность „на самом деле“ являются гладкими функциями с очень большими, но конечными значениями в начале — вопрос бессмысленный. Обе возможности несут в себе предположение, что жидкость обладает тонкой структурой, позволяющей нам трактовать дифференцируемым образом области, сколь угодно близкие к началу, а этого, как мы знаем, нет. Для одних целей моделирование течения логарифмической особенностью будет самым полезным подходом, для других могут оказаться предпочтительнее модели, использующие ограниченные гладкие (но не аналитические) функции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление