Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4 Завихренность

Локальное вращение, или завихренность, двумерного течения жидкости в точке можно определить так. Возьмем малую петлю С вокруг точки проинтегрируем вдоль С в направлении против часовой стрелки касательную компоненту у и поделим интеграл на заключенную внутри С площадь для „усреднения". (На рис. 11.7 результат будет положительным, так как скорости внизу больше.) Затем надо перейти к пределу, стягивая С к точке и разделить его на 2 (по соглашению, принятому многими,

Рис. 11.6

Рис. 11.7

Рис. 11.8

хотя и не всеми, физиками). Здесь нужно еще потрудиться, доказывая независимость предела от формы кривой С, но мы не будем этим заниматься. Беря окружности с центром в начале на рис. 11.6(a) и (Ь), мы легко находим

где знак отвечает рис. 11.6(a), а «-» рис. 11.6(b). Чуть больше усилий требуется, чтобы показать, что в обоих этих случаях в действительности постоянна и равняется ±2 во всех точках Подобным же образом в 11.6(d) завихренность всюду равна —1; здесь удобнее брать квадратные петли. Из симметричности течения на рис. 11.6(f) следует, что В случае рис. или (Ь) очевидно, что небольшое твердое тело, помещенное в точке , вращалось бы со скоростью как вся жидкость. Вообще, можно доказать, что со аппроксимируется скоростью вращения малого твердого тела, свободно плавающего в жидкости, центр которого в данный момент расположен в точке

При описании течения с помощью функции тока указанной выше процедуре соответствуют, очевидно, интегрирование по С коэффициента наклона графика внутрь контура С с последующим делением на площадь и переход к половине предела при стягивании С. Мы не даем здесь вывода получающейся в результате формулы (отсылая снова к учебникам по механике жидкостей), но приведем следующую ее мотивировку. Для одномерного аналога рассматриваемой ситуации (рис. 11.8) петля С вокруг х заменяется парой точек, интеграл от коэффициентов наклона графика внутрь контура — суммой двух коэффициентов наклона внутрь отрезка а охватываемая контуром площадь — длиной 26. Поэтому в одномерном случае предел оказывается равным

Двумерная формула оказывается очевидным аналогом этой: нужно заменить на лапласиан (оператор Лапласа)

Формула, выражающая завихренность через функцию тока, выглядит, следовательно, так:

Из этой формулы сразу получается, что все квадратичные потоки на рис. 11.6 обладают постоянной завихренностью; в частности, течение на рис. 11.6(f) безвихревое — его завихренность всюду равна нулю. По этой причине его и называют течением „чистого сдвига": сдвиг есть, а вращения нет. Простой сдвиг (рис. 11.6(d)) является линейной комбинацией чистого вращения и чистого сдвига, что видно как из описания при помощи функций тока:

так и из описания при помощи векторов поля скоростей:

Локальный сдвиг, формулу для которого мы приводить не будем, представляет собой то „локальное относительное движение", которому препятствует вязкость. На завихренность вязкость прямого действия не оказывает, как это ясно видно для случая чистого вращения из рис. 11.6 (a) и (b), и нужно заполнить несколько промежуточных шагов, используя конкретные особенности рассматриваемой системы, чтобы оправдать такое высказывание, как: „Хотя вначале вы и создали некоторую угловую скорость она из-за вязкости [курсив наш] вскоре затухает, и поток становится безвихревым." (Фейнман, Лейтон и Сэндс [54], гл. 40, § 4).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление