Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2 Функции тока

Для данного двумерного векторного поля (показанного на рис. 11.2(a)), описывающего течение в некоторый момент времени мы можем, если гладко меняется , „соединить стрелки", как на рис. 11.2(b). Точнее, мы можем заполнить представляющую для нас интерес область параметризованными кривыми называемыми линиями тока, так, что для всякой точки касательным вектором в этой точке к проходящей через нее кривой будет как раз

Рис. 11.2

вектор . (Доказательство этого факта можно найти, например, у Додсона и Постона Линии тока совпадают с теми траекториями, которые описывают при своем движении частицы сплошной среды, только если течение стационарно, т. е. для каждой точки вектор не зависит от Иначе линии тока смещаются со временем, и частица, которая перемещается по касательной к различным линиям тока в различные моменты, вообще говоря не будет следовать ни по одной из них. Заметим, что стационарность не требует, чтобы частицы двигались с постоянной скоростью; они могут ускоряться или замедляться, двигаясь вдоль изогнутых кривых, но вся картина стационарного течения в целом не меняется со временем.

Имеется весьма удобный способ представления стационарного течения в данной области Выберем одну линию тока С за начало отсчета. Вместе с любой другой линией, скажем линией С на рис. 11.3, она образует, так сказать, канал, по которому движется сплошная среда. Допустим, что движущееся вещество сохраняется, т. е. нет источников и стоков; тогда одно и то же его количество должно протекать как через линию А, так и через линию В, ибо иначе где-то между ними имело бы место постоянное возникновение или исчезновение вещества. (Ни С, ни С не пересекаются движущимися частицами по определению этих кривых.) Значит, можно говорить о вполне определенном „количестве", текущем между С и С, не зависящем оттого, где мы производим измерение. Мы приписываем этому количеству положительный или отрицательный знак в соответствии с тем, будет ли наблюдатель в точке Р, смотрящий в направлении движения вдоль С, находиться на правом или левом берегу канала.

Будем использовать это количество в качестве метки для кривой С. Если определить теперь функцию тока

то линии тока станут горизонталями (линиями уровня) этой функции Далее, беря все более и более узкие каналы, содержащие данную точку (рис. 11.4), легко усмотреть, что наклон графика функции в этой точке, равный пределу отношения

Рис. 11.3

Рис. 11.4

при стремлении знаменателя к нулю, есть не что иное, как предел в отношения

при стремлении этой ширины к нулю. Ясно, что этот предел должен быть равен

где — плотность среды в точке — одна и та же во времени. Таким образом, мы сможем узнать о течении всё по функции только если дополнительно известно, как связаны между собой у и Но в случае когда изменением можно пренебречь, как это часто и бывает (вода менее сжимаема, чем сталь), подбором единиц можно сделать и тогда сразу получается из В координатах:

Формальное доказательство всегоэтого провести не сложно, но при формальном подходе низкого уровня оно недостаточно интуитивно. Вводить же математические средства высокого уровня (где площадь, помноженная при необходимости на выступает как симплектическая структура) у нас нет места, и читателю следует самому заглянуть в учебники по механике сплошных сред.

Для течения, показанного на рис. 11.5(a), функцию нельзя построить глобально во всей кольцевой области. Тем не менее можно показать, что для любого гладко меняющегося поля в топологически простой области (скажем, в круге) функция существует (и единственна с точностью до константы), даже если само течение выглядит достаточно сложно, как на рис. 11.5(b).

Рассуждение, приведшее нас к определению функции не проходит, когда течение не стационарно, так как тогда жидкость могла бы временно накапливаться в области К между А, В, С и С. Но это (в случае сохранения жидкости) повлекло бы за собой увеличение плотности где-то в К-Если изменения в плотности незначительны (как это обычно бывает для жидкостей, но редко для газов), рассуждение сохраняет свою силу. Это означает, что даже и нестационарное двумерное несжимаемое течение можно трактовать как задаваемое в каждый момент времени некоторой функцией. (Под несжимаемым течением мы будем понимать любое поле скоростей, задающее течение, которое сохраняет площадь (или объем). Здесь не исключаются и течения, которые по

Рис. 11.5

тем или иным причинам не могут быть физически реализованы.) Поскольку жидкости сжимаемы гораздо меньше газов, а мы хотим сосредоточиться в дальнейшем именно на несжимаемых течениях, мы, начиная с этого места, будем говорить в основном о жидкостях, а не о более общих сплошных средах.

Для данной топологически простой области можно избавиться от произвольной константы, выбрав какую-нибудь точку, в которой все функции тока должны иметь одно и то же предписанное значение (например, 0). Тогда любая функция на дает нам несжимаемое течение

и для каждого несжимаемого течения мы имеем единственную функцию тока. Естественные понятия „малого возмущения“ для обоих случаев согласованны, и две функции тока эквивалентны относительно некоторой замены координат, если и только если эквивалентны соответствующие течения (притом относительно той же самой замены). Тем самым теория бифуркаций гладких несжимаемых двумерных течений связывается с теорией бифуркаций вещественных гладких функций от двух переменных, составляющей часть теории катастроф. Между прочим, мы пришли к этому совершенно классическим путем построения модельных приближений к „реальному миру“.

Описываемое ниже приложение теории катастроф, впрочем, довольно необычно в следующем отношении. Критические точки функции в которых обращается в нуль ее градиент, с различными имеющимися тут возможностями (максимум, минимум, седло, обезьянье седло и т. это места, где скорость течения равна нулю (так называемые точки торможения). „Поведение", наблюдаемое нами здесь, — это не поведение системы, которая меняется с точкой максимизируя или минимизируя определенные функции. Дело обстоит даже и не как в оптике, где речь идет о яркости, связанной с критическими или близкими к ним точками, будь то максимумы, сёдла или вырожденные точки, так что мы наблюдаем сразу всё многообразие катастрофы, а не одни экстремумы. Здесь мы наблюдаем всю, в целом, топологическую форму самой функции тока, включая такие ее черты, как точки торможения, но также и то, как течение вьется между ними. Интерпретировать теорию катастроф исключительно в терминах структуры критических точек было бы близоруко.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление