Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. ГЕОМЕТРИЯ ЖИДКОСТИ

Линии тока движущейся жидкости образуют семейства кривых, которые при выполнении определенных физических предположений могут быть рассматриваемы как линии уровня некоторой вещественной функции. Точки торможения потока (точки, где скорость течения равна нулю) отвечают критическим точкам этой функции. Структурная неустойчивость вырожденных критических точек ведет к неустойчивости топологической картины линий тока; правила теории катастроф, относящиеся к деформациям, позволяют провести анализ таких неустойчивостей.

Вот в общем и целом предмет настоящей главы. При смешивании физики и математики нужна известная осторожность, и мы начнем с рассмотрения математических моделей течения жидкости. В дальнейшем нас будут в основном интересовать работа Берри и Мэкли [53] о „шестивалковой мельнице" и вытекающие из нее практические следствия, в частности вопрос о влиянии растворенных полимерных молекул на характер течения жидкости.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ

1. Что мы описываем

Мы не можем излагать здесь общий аппарат теории движения жидкости: и места нет, и пришлось бы прибегнуть к теории дифференциальных уравнений в большей степени, чем мы это считали возможным в остальных частях книги. Наша цель — рассказать об одном обворожительном приложении теории катастроф на уровне, доступном читателю, не имеющему специальной подготовки по механике жидкостей. Однако мы надеемся, что и те, кто имеет представление о предмете, все же найдут наш рассказ достаточно интересным, так как он ведется с необычной точки зрения. Детальная разработка темы использования теории катастроф в этих вопросах потребовала бы, конечно, основательного

Рис. 11.1. (а) Двумерное представление течения; трехмерное фактическое течение.

изучения динамики сплошных сред, а не краткого очерка, даваемого ниже.

Рассмотрим движение сплошной среды в двух измерениях, или, точнее, движение, которое можно рассматривать лишь в двух измерениях, так как в третьем ничего не меняется (рис. 11.1). Это приближение используется на практике с замечательным успехом, так что изучение двумерных течений оказывается (например) важным при обучении авиаконструкторов. Чрезвычайно маловероятно, чтобы ситуация, изображенная на рис. 11.1 (Ь), могла быть в точности истинной, поскольку целая прямая точек покоя — вещь структурно неустойчивая; однако на самом деле двумерные течения регулярно реализуются в эксперименте с той точностью, какая отвечает описанию течения при помощи поля векторов скорости.

Это последнее описание предполагает, что скорость движущейся среды в каждой точке х может быть задана вектором обычно гладко меняющимся с х. Строго говоря, это чепуха. При достаточно большом увеличении мы могли бы увидеть, как молекулы, отскакивая друг от друга, движутся с самыми разными скоростями через пустое пространство, в точках которого вообще нет смысла говорить о векторах скорости. При еще большем увеличении мы бы встретились с фалангами электронных облаков, квантовыми полями ит. описания здесь трудны, а решения невозможны. Понятие „вектора скорости в данной точке является, таким образом, лишь приближением, хорошо укладывающимся в рамки тех измерений, которые мы обычно производим, с усреднением по областям, достаточно большим, чтобы исчезли осложнения микрокосмического. То что усредненное поведение микросистем каким-то чудом в точности описывается уравнениями механики сплошных сред, составляет привычный догмат веры, но еще никто не доказал этого для реалистичной модели тонкой структуры; лучшее, что имеется, это доказательства для идеализированных моделей разреженного одноатомного газа.

Дифференциальное уравнение, приравнивающее дифференциал в точке х некоему числу говорит нам, что чем ближе мы будем рассматривать точку х, тем лучше опишет то, что мы увидим. Для уравнений сплошной среды известно, что на самом деле это не так. Некоторые физики думают, что это не так и для фундаментальных уравнений материи в пространстве-времени. Но даже если бы они знали, что это неверно, в большинстве случаев они продолжали бы пользоваться дифференциальными уравнениями, дифференцируемыми функциями и т. д. Дело в том, что вся

физика состоит в математическом моделировании поведения материи с использованием любой математики, которая наилучшим образом подходит для явлений рассматриваемого масштаба. То что на следующем структурном уровне модель оказывается уже ложной, не имеет никакого значения, ни практически, ни исторически, ни философски. Лишь неверные предсказания относительно явлений того же самого уровня (или иногда предшествующего) влекут за собой научные революции.

Предсказания, истинные для всей шкалы явлений — от малых масштабов до крупных, — составляют главную цель физики, однако существенно макроскопические теории вроде механики жидкостей не становятся от этого менее научными. Даже если некоторый уровень окажется «последним» и даже если мы до него дойдем, мы не сможем доказать, что он последний, коль скоро нас не обяжут признать это скрижали или что-нибудь подобное. Но наука имеет дело с эффективным описанием мира и — покуда она остается наукой — оставляет вопросы „последней истины" тем, для кого главным методом спора является сжигание неверующих.

Поэтому, как и всюду в этой книге, мы будем в настоящей главе иметь дело с «дифференциальным» описанием действительности. Степень его применимости в каждом отдельном случае — отчасти дело эксперимента. Ее нельзя определить, исходя исключительно из соотношения с теориями более тонкого структурного уровня, даже в тех случаях, когда эти теории, как для газа, хорошо развиты; еще в меньшей степени это возможно, когда речь идет о живых клетках.

В частности, мы обсуждаем течение жидкости в этой главе лишь в той степени, в которой оно может быть моделировано в любой момент двумерным полем скоростей. Это общепринятый и полезный подход, и он приведет нас здесь к одному приложению теории катастроф с очень изящными экспериментальными результатами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление